Бежит батарея вне приватизированной квартиры должен ли я за свой счёт производить ремонт?

если вне квартиры - то не должен.

Если не хотите платить за ремонт соседу, то лучше за свой счёт отремонтировать. Но сначала обратитесь в ЖКХ, они должны принять какие то меры, обычно в неприватизированных квартирах ремонт делают бесплатно. У нас некоторым даже пластиковые окна вставили бесплатно.

Для этого есть строка "общедомовые нужды" в квитанциях по оплате коммунальных услуг!

Вне приватизированной квартиры Вы уже и так платите за всё автоматически!

Если о замене батареи речь не идёт, то сантехник перекроет воду, перемотает соединение, жахнет стакан и пойдёт к другим (жахать) .
А в твоём случае надо вызывать аварийку и говорить, что прорвало трубу и типа не успеваешь менять тазики. Если скажешь, что подтекает, будут ехать 3 дня.

Вызывайте сантехника из жека . Если будет просить дегег то платите только через кассу и чек квитанцию требуйте . Они должны все это бесплатно делать .

Даже и в Вашей приватизированной квартире ЖЭК при необходимости заменит неисправную батарею бесплатно - в счёт денег, которые все мы платим по графе "Техобслуживание здания". Вы только покупаете саму новую батарею - наш ЖЭК требует, чтобы она была самая обычная, чугунная, современные модные батареи они ставить вообще не позволяют.
Я так ставил себе алюминиевую батарею - слесарям из ЖЭКа приплатил почти символически за то, что они меня не заложат, что батарея не чугунная.