Чей-та? Чего они требуют?
Если эта вторая работа - официально вторая, т. е. совместительство, то запись о нем делается в т. книжку ПО ВАШЕМУ ЖЕЛАНИЮ.
А работаете Вы по договору, можно без записи.
Будут выступать - ткните им в нос Трудовым Кодексом (выберите издание потяжелее) ,
Работать со второй трудовой - не рекомендую (по собственной практике) .
Так - если у Вас совместительство, официальное, то У вас есть ряд льгот. Например, отпуск в одно и то же время. Опять же, 16 часов в сутки заставить Вас работать никто не может.
А если заведете вторую трудовую - на обоих местах Вас будут нагинать по полной, как на основном (и единственном) месте работы.