Можно ли сделать русским Испанскую визу в Армении? (в консульстве, без помощи визовых агентств)

Можно, конечно.
Только если в Армении они не в недельной поездке, а пребывают долгосрочно.

Можно, если они русские по национальности, но являются гражданами Армении. Либо имеют другое гражданство, но у них есть вид на жительство в Армении (документ оформляется при длительном проживании)