В какие органы нужно обратиться, чтобы зарегистрировать нового работника в ООО?

Никуда не нужно обращаться.
Оформляете Приказ на прием, Трудовой договор, делаете запись в трудовой книжке (если по основному месту работы) --
и всё.
Если же Ваш вопрос об иностранных работниках -- там да, есть нюансы. О них читайте тут --> http://taxpravo.ru/iconf/151934-inostrannyie_rabotniki_-_2012_priem_na_rabotu_i_nalogooblojenie
Например (цитирую оттуда) , в отношении граждан Украины действует особый порядок миграционного учета. Трудовой договор оформляется в обычном порядке, так как нет исключений из требований ТК при найме на работу иностранных граждан. Между Правительствами Украины и России заключено Соглашение о безвизовых поездках граждан от 16.01.1997 г. К этому Соглашению 30.10.2004 г. был подписан Протокол о внесении изменений, который дает право гражданам Украины находиться на территории России без регистрации по месту их пребывания 90 дней с момента въезда. Протокол действует с 5 января 2005 года. Для получения разрешения на работу гражданину Украины необходимо встать на учет по месту пребывания. Это не меняет сроков подачи уведомлений о принятии на работу гражданина Украины. Необходимо в пределах 3 рабочих дней с даты начала работы гражданина Украины направить уведомление по форме, утвержденной приказом ФМС от 28.06.2010 г. № 147 в службу занятости и миграционную службу. Не позднее 7 рабочих дней необходимо направить уведомление о прибытии в место пребывания по форме, утвержденной Постановлением Правительства РФ от 15.01.2007 г. № 9. В течение 10 рабочих дней следует уведомить Налоговую инспекцию о привлечении к работе иностранного работника. Форма уведомления рекомендована письмом ФНС РФ от 24.08.2007 г. № ГИ-6-04/676@.

Работников не регистрируют, а принимают на работу.
На военнообязанных и лиц призывного возраста сведения нужно подавать в военкомат
Воинский учет в организациях.
Порядок осуществления воинского учета в организациях описан в разделе III Положения о воинском учете, а также в «Методических рекомендациях по ведению воинского учета в организациях» (утв. Генштабом Вооруженных сил РФ) .
В Положении о воинском учете (раздел III) также перечислены все образцы форм воинского учета (такие как форма N Т-2, форма N Т-2 ГС (МС)) .
Ответственность за нарушение воинского учета в организациях.
- Неоповещение граджанина о повестке военного комиссариата руководителем или другим должностным лицом организации - штрафа от пятисот до одной тысячи рублей (статья 21.2 КоАП РФ) ;
- Необеспечение гражданам возможности своевременной явки по вызову по повестке военного комиссариата - штрафа от пятисот до одной тысячи рублей (статья 21.2 КоАП РФ) ;
- Несообщение руководителем или другим ответственным за военно-учетную работу должностным лицом организации в военный сведений о принятых на работу (учебу) либо об уволенных с работы (отчисленных из образовательных учреждений) гражданах, состоящих или обязанных состоять, но не состоящих на воинском учете, - штраф от трехсот до одной тысячи рублей (п. 3 статьи 21.4 КоАП РФ) ;