Имеют ли право исчислить НДФЛ?

Чтобы тебе выдать на руки - ты должна быть трудоустроена. А так как ты работаешь по левому, то никаких денег ты на руки не получишь.
Если есть возможность через родственника выдать в виде премии ему, то НДФЛ с премии так же вычитается, т. е. 13% с суммы

лично вам никто ничего платить не обязан, на работу вас никто не принимал и никакой "зарплаты" у вас нет. то, что вы решили помочь родственнику - это исключительно ваша добрая воля, "благотворительная акция", работодатель родственника не обязан вам ничего платить.
родственник за выполненную работу получит премию и, естественно, обязан уплатить с неё НДФЛ, а работодатель, являясь налоговым агентом, обязан этот НДФЛ с начисленной премии исчислить, удержать и перечислить в бюджет.
так, что ничего противозаконного в действиях работодателя нет. мог вообще никак не оплачивать вашу помощь, сделать вид, что не заметил вашу работу и вы бы никогда ничего с него стребовать не смогли.

Запомни раз и навсегда... Нет договора. нет зарплаты и налогов.... Хоть работай день и ночь!

А как еще оформить левые деньги? Приходится через трудоустроенного посредника. А он платит налог со всего заработка. Он же не будет свои деньги за тебя отдавать. Скажи спасибо, что согласился.

Вы хотите и на ёлку залезть, и опу не ободрать.

"И с чего тут взимать налог, если даже трудовую не открыли?" - Встречный вопрос - кому зарплату платить, если даже работника нет?

"или каким-нибудь еще образом... " Каким? Не подскажете?

Есть доход- есть налог