как можна доказать ,что выпуклые многоугольники с периметром 4а можна покрыт круг с диаметром 2а.. .

Вышенаписаное в общем верно, но лучше доказывать более строго. Я это вижу так:

Будем искать многоугольник с наименьшим периметром, который можно покрыть кругом данного радиуса. При условии, что хотя бы две вершины лежат на границе круга (иначе можно сдвинуть круг так, чтобы две вершины лежали на границе) .
1) Доказать, что если убрать вершину у многогранника (было ..ABC.., стало ...AC...), то периметр уменьшится. (Это вполне очевидно. )
2) Доказать, что многоугольник должен быть вписанным. (Все вершины лежат на границе круга. )
3) Доказать, что можно оставить только три вершины. (Напрямую следует из пункта 1 и факта, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. )
4) Доказать, что вписанный треугольник с минимальным периметром - у которого две вершины совпадают.

Из этого следует, что для данного периметра максимум минимального диаметра покрывающего круга достигается, если многоугольник - треугольник с двумя совпадающими вершинами.
Для периметра 4а получаем, что круг должен быть диаметром 2а.

Допустим в многоугольнике, все стороны за исключением двух, ничтожно малы. Практически равны нулю.
Длины оставшихся двух будут по 2а, то есть это максимальная длинна многоугольника, а раз помещается он в круг, то другие тем более поместятся.

максимальный линейный размер многоугольника - это половина периметра, т. е. 2а,
поэтому круга с диаметром 2а вполне достаточно, чтобы накрыть эту фигню