Геометрия. Задача 2.

Решение
1) АМ и ВК- медианы равнобедренного тр-ка АВС, тогда АМ =ВК и если О-точка их пересечения и
ОМ =х, то ОМ =ОК =х, АО=ОВ =2х ( по св-ву медиан тр-ка АВС) и АМ =3х
2) В прямоугольном тр-ке АСМ пусть СМ =а, тогда АС =2а, так как СА=СВ и СВ =2СМ, по теореме Пифагора получим 9х² =4а²+а² =5а² или а² = 9х² /5
3) Из тр-ка АОК по теореме косинусов
АК² = АО²+КО² -2 АО*ОК *cos(АОК) или cos(АОК) = (4х²+х² - 9х² /5)/ 2*2х*х = 4/5
4) В тр-ке FДО имеем FО = 5х, ДО =4х и cos(FОД )= 4/5, тогда по теореме косинусов имеем
FД² = 25х²+16х² -2 *5х*4х*4/5 = 9х² или FД =3х
5) Для сторон тр-ка FОД выполняется теорема Пифагора 16х²+9х² =25х²
6) Тогда угол ВDF=90 градусов
Другие способы
а) разложить вектора ДF и ДО по векторам СА и СВ и найти их скалярное произведение
б) Применить координатный метод. , направив оси координат по катетам и опредилив координаты
точек В. Д и F, взяв за единичный отрезок СМ

Решение задачи от не знающего геометрических свойств.
Треугольники CBK и WBE подобны (угол B общий, BK пропорциональна BE (коэффициент пропорциональности 3)), следовательно WE=3а, WC=4a.
Треугольники MCA и MQR подобны (угол M общий, MR пропорциональна MA (коэффициент пропорциональности 3)), следовательно QR=6a, QC=2a.
Отсюда, QW=2a.
Проведём AY. QCAY квадрат, следовательно QY=CA=2a.
В прямоугольной трапеции опустим перпендикуляр из E на QR.
WQTE -- прямоугольник. QT=WE=3a.
Тогда, YT=a. TE=QW=2a.
ЕК=QR-QT=3a.
По теореме Пифагора:
ER=(2a)^2+(3a)^2=13a^2
YE=a^2+(2a)^2=3a^2
Т. к.
YR=корень (YE^2+ER^2)=4a,
то треугольник YRE -- прямоугольный с прямым углом E.

ч. т. д.

Простите, что так невнятно.
Я точку D переобозначил, как E, а точку F, как R.

вроде легкая