Объясните пожалуста откуда в решении взялись цифры 2 и 5?31(x+2y)-5(6x+11y).

Это такой искусственный приемчик. Нам надо, чтобы х+7у делилось на 31. Хорошо. Надо представить его как сумму членов, каждый из которых делится на 31. Принимаем первый член как 31(х+Ау). Все числа целые, поэтому это выражение разделится на 31. Также мы знаем, что (6х+11у) делится на 31, поэтому берем его как второе слагаемое. Но поскольку в первом у нас уже есть 31х, а нужен 1х, то мы перед вторым ставим множитель 5, который даст 5*6х=30х, и вычитаем из первого. При этом во втором у нас получилось -5*11у=-55у, а в итоге надо 7у. Поэтому надо чтобы было 31*Ау-55у=7у. Очевидно, что 31*А=62, значит А=2, и получилось, что мы расписали (х+7у) =31(х+2у) -5(6х+11у), каждое слагаемое делится на 31, значит, и сумма разделится.

Я бы даже записал это с неопределёнными коэффициентами:

x + 7y = 31(ax + by) + c(6x + 11y)

Мы пишем 31 перед первой скобкой и (6x + 11y) во второй потому, что идея указана правильно: нам нужно разбить наше выражение на 2 слагаемых, каждое из которых кратно 31. Кратность первого мы обеспечиваем множителем 31, кратность второго - множителем 6x+11y.
Сейчас у нас появится 2 уравнения, а вот неизвестных будет 3. Но нам не нужны все решения, нам хватит какого-то одного целочисленного.

Отдельно приравниваем коэффициенты при x и y:
x + 7y = (31a + 6c) x + (31b + 11c) y

Значит,
1 = 31a + 6c
7 = 31b + 11c

Вот она, система из двух уравнений, а неизвестных 3. Нам нужно какое-то целочисленное решение. Первое уравнение позволит нам выразить c через a. Значит, достаточно и b выразить через a. Тогда мы выберем такое значение a, чтобы и b, и c были целыми - и всё получится.

Первое уравнение домножим на 11, второе на 6. Вычтем первое из второго
11 = 31*11a + 6*11c
42 = 31*6b +11*6с

42 - 11 = 31*6b - 31*11a
31 = 31(6b - 11a)
b = (11a + 1)/6

Значит, b будет целым, если 11a + 1 делится на 6 - то есть когда остаток a от деления на 6 равен 1.

Из первого уравнения:
c = (1-31a)/6

То есть c будет целым, если 1 - 31a (или, меняя знак, 31a -1) делится на 6 - то есть когда остаток a от деления на 6 равен 1.

Повезло, надо сказать. Могло бы так не прокатить, и были бы нужны дальнейшие исследования. Но повезло.

Нам подойдёт любое значение a с нужным остатком: -5, 1, 7 и так далее. Конечно, проще всего взять 1. Тогда b = 2, c = -5 и наше представление принимает вид:

x + 7y = 31(x + 2y) -5(6x + 11y)

А могли бы взять a = 7, например. Тогда b = 13, с = -36 и представление получилось бы таким:

x + 7y = 31(7x + 13y) -36(6x + 11y)

Оно работает ничуть не хуже, потому что основная идея сохранилась: наше выражение разбито на 2 слагаемых, каждое из которых кратно 31. Но тут чиселки получаются больше :).

верно сказано ПОДОГНАЛИ
а это и есть суть ГЛУПОСТИ и намеренного для детей сказать им вы ТУПЫЕ ДЕТИ
вопрос ведь возникает ДРУГОЙ - можно подогнать все что угодно и коль натуральный ряд чисел бесконечен то и Подогнать понятие тоже будет Бесокнечным
такими задачами вы ВЗРОСЛЫЕ делаете детей ДИБИЛОИДАМИ себя ставя перед детьми мерзкими существами