Объясните тему "Решение систем уравнения с двумя переменными"

1. Способ сложения:

Нужно записать два уравнения строго друг под другом:

2 –5у=61

-9х+5у=-40.

Далее, сложить каждое слагаемое уравнений соответственно, учитывая их знаки:

2х+(-9х) =-7х, -5у+5у=0, 61+(-40)=21. Как правило, одна из сумм, содержащая неизвестную величину, будет равна нулю.
Составить уравнение из полученных членов:

-7х+0=21.
Найти неизвестное: -7х=21, ч=21:(-7)=-3.
Подставить уже найденное значение в любое из исходных уравнений и получить второе неизвестное, решив линейное уравнение:

2х–5у=61, 2(-3)–5у=61, -6-5у=61, -5у=61+6, -5у=67, у=-13,4.
Ответ системы уравнений: х=-3, у=-13,4.

2. Способ подстановки:

Из одного уравнения следует выразить любое из искомых членов:

х–5у=61

-9х+4у=-7.

х=61+5у, х=61+5у.
Подставить получившееся уравнение во второе вместо числа «икс» (в данном случае) :

-9(61+5у) +4у=-7.
Далее решив

линейное уравнение, найти число «игрек» :

-549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить вместо уже найденного «игрека» число 11 и вычислить второе неизвестное:

Х=61+5*11, х=61+55, х=116.
Ответ данной системы уравнений: х=116, у=11.

3. Графический способ:

Заключается в практическом нахождении координаты точки, в которой пересекаются прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Общий вид уравнения прямой: – у=kх+b. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух точек, причем, х выбирается произвольно.
Пусть дана система: 2х – у=4

у=-3х+1.
Строится прямая по первому уравнению, для удобства его нужно записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, найти игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис. )
х 0 1

у -4 -2
Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.
Так же построить прямую. (см рис. )

х 0 2

у 1 -5

Определение 1. Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными. Существуют четыре основных способа решения систем уравнений: способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Способ подстановки Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Пример 1 \[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\] Выразим из второго уравнения $y$ через $x$: \[y=3x+9\] Подставим в первое уравнение, найдем $x$: \[2x+9x+27=5\] \[11x=-22\] \[x=-2\] Найдем $y$: \[y=-6+9=3\] Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ сложения. Рассмотрим данный способ на примере:

Пример 2 \[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\] Умножим второе уравнение на 3, получим: \[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {9x-3y=-27} \end{array} \right.\] Теперь сложим оба уравнения между собой: \[2x+3y+9x-3y=5-27\] \[11x=-22\] \[x=-2\] Найдем $y$ из второго уравнения: \[-6-y=-9\] \[y=3\] Ответ: $(-2,\ 3)$

Замечание 1 !!!Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Способ введения новых переменных Этот способ рассмотрим на следующем примере: Пример 3 \[\left\{ \begin{array}{c} {2^{x+1}-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\] Решение. Данная система равносильна системе \[\left\{ \begin{array}{c} {{2\cdot 2}^x-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\] Пусть $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, получим: \[\left\{ \begin{array}{c} {2u-v=-1} \\ {v-u=2} \end{array} \right.\] Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: \[2u-v+v-u=-1+2\] \[u=1\] Тогда из второго уравнения, получим, что \[v=2+u=3\] Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений: \[\left\{ \begin{array}{c} {2^x=1} \\ {3^y=3} \end{array} \right.\] Получаем: \[\left\{ \begin{array}{c} {x=0} \\ {y=1} \end{array} \right.\] Ответ: ($0,1$).
(графический способ загугли)