Tgx=siny
sinx=2ctgy
Домашние задания: Алгебра
Помогите решить задание
{ tgx=siny, sinx=2ctgy }
Ход решения:
1) Перемножим почленно уравнения, получим sin²x/cosx = 2cosy. (Заметим, что при данном действии могут появиться лишние корни, поэтому в конце выполним отбор корней).
Разделим ІІ на І, получим cosx = 2cosy/sin²y. А здесь (при делении) корни могут потеряться. Но при tgx=0, siny=0 решений нет, => корни не потеряны.
2) Замена cosx=a, cosy=b, получили систему:
{ (1-a²)/a = 2b,
{ a=2b/(1-b²)
{ |a| ≤ 1, |b| ≤ 1.
Методом подстановки (сами) получим:
{ 5b⁴ - 10b² +1 =0,
{ a = 2b/(1-b²),
{ |a| ≤ 1, |b| ≤ 1,
откуда a₁ = √(5-2√5), b₁ = √(1-2/√5); a₂ = -√(5-2√5), b₂ = -√(1-2/√5).
3) Обратная замена:
а) { cosx= √(5-2√5), cosy= √(1-2/√5)},
{ x= ±arccos √(5-2√5) + 2πn, y= ±arccos √(1-2/√5) + 2πk}.
Отбор корней на ед. окружности (T=2π):
x₁=arccos√(5-2√5) є І четв., ⇒ tgx>0, siny>0, sinx>0, ctgy>0,
⇒ y є І четв., ⇒ y₁=arccos √(1-2/√5). Получили решение ( arccos √(5-2√5) + 2πn; arccos √(1-2/√5) + 2πk), n,kєZ.
Аналогично, x₂=-arccos√(5-2√5) є ІV четв., ⇒ tgx<0, sinx<0, siny<0, ctgy<0,⇒ y є IV четв., ⇒ у₂=-arccos√(1-2/√5), решение ( -arccos √(5-2√5) + 2πn; -arccos √(1-2/√5) + 2πk), n,kєZ.
б) { cosx= -√(5-2√5), cosy= -√(1-2/√5)} - сам аналогично а).
Ответ:
( arccos √(5-2√5) + 2πn; arccos √(1-2/√5) + 2πk),
( -arccos √(5-2√5) + 2πn; -arccos √(1-2/√5) + 2πk),
( arccos (-√(5-2√5)) + 2πn; -arccos (-√(1-2/√5)) + 2πk),
( -arccos (-√(5-2√5)) + 2πn; arccos (-√(1-2/√5)) + 2πk), n,kєZ.
Ход решения:
1) Перемножим почленно уравнения, получим sin²x/cosx = 2cosy. (Заметим, что при данном действии могут появиться лишние корни, поэтому в конце выполним отбор корней).
Разделим ІІ на І, получим cosx = 2cosy/sin²y. А здесь (при делении) корни могут потеряться. Но при tgx=0, siny=0 решений нет, => корни не потеряны.
2) Замена cosx=a, cosy=b, получили систему:
{ (1-a²)/a = 2b,
{ a=2b/(1-b²)
{ |a| ≤ 1, |b| ≤ 1.
Методом подстановки (сами) получим:
{ 5b⁴ - 10b² +1 =0,
{ a = 2b/(1-b²),
{ |a| ≤ 1, |b| ≤ 1,
откуда a₁ = √(5-2√5), b₁ = √(1-2/√5); a₂ = -√(5-2√5), b₂ = -√(1-2/√5).
3) Обратная замена:
а) { cosx= √(5-2√5), cosy= √(1-2/√5)},
{ x= ±arccos √(5-2√5) + 2πn, y= ±arccos √(1-2/√5) + 2πk}.
Отбор корней на ед. окружности (T=2π):
x₁=arccos√(5-2√5) є І четв., ⇒ tgx>0, siny>0, sinx>0, ctgy>0,
⇒ y є І четв., ⇒ y₁=arccos √(1-2/√5). Получили решение ( arccos √(5-2√5) + 2πn; arccos √(1-2/√5) + 2πk), n,kєZ.
Аналогично, x₂=-arccos√(5-2√5) є ІV четв., ⇒ tgx<0, sinx<0, siny<0, ctgy<0,⇒ y є IV четв., ⇒ у₂=-arccos√(1-2/√5), решение ( -arccos √(5-2√5) + 2πn; -arccos √(1-2/√5) + 2πk), n,kєZ.
б) { cosx= -√(5-2√5), cosy= -√(1-2/√5)} - сам аналогично а).
Ответ:
( arccos √(5-2√5) + 2πn; arccos √(1-2/√5) + 2πk),
( -arccos √(5-2√5) + 2πn; -arccos √(1-2/√5) + 2πk),
( arccos (-√(5-2√5)) + 2πn; -arccos (-√(1-2/√5)) + 2πk),
( -arccos (-√(5-2√5)) + 2πn; arccos (-√(1-2/√5)) + 2πk), n,kєZ.
Похожие вопросы
- Помогите решить задания
- Поможете решить задание по алгебре 11 класс?
- Срочно, поможете решить задание по матеше?
- Помогите решить задания!
- Прошу решите задания с фото
- Помогите пожалуйста решить задание по алгебре.
- Помогите решить (Нужно 3 и 4 задание)
- Помогите пожалуйста решить задания на фото
- Помогите решить пожалуйста Только 3 под б, 4 и 5 задание
- Помогите решить 3 задания(алгебра,8 класс)