Сколько существует несократимых дробей со знаменателем 288

Видимо, подразумеваются правильные дроби? Тогда
множители 288=2⁵•3²:
2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144.
16 чисел от 2 до 287, с которыми 288 может сокращаться. Значит, от 1 до 287 остальное 287-16=271 число взаимно просто с 288. Ответ 271, хотя вопрос не совсем корректен.
Дерзайте учиться! ;)

Для несократимых правильных дробей с положительным числителем:

Столько же, сколько существует натуральных чисел, не превышающих 288 и взаимно простых с 288.

Количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n наывается функцией Эйлера от n и обозначается фи (n).
В частности, у нее есть прикольные свойства:
1) если p - простое, то фи (p^n) = p^n - p^(n-1), в частности, фи (p) = p - 1
1) если НОД (m, n) = 1, то фи (m*n) = фи (m) * фи (n)
Их доказательства можно найти вот здесь:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Эйлера

Из этих свойств сразу получаем ответ фи (288) = фи (2^5)*фи (3^2) = (32 - 16)*(9 - 3) = 16*6 = 96.

Можно и через другое свойство посчитать, простые делители 288 - это только 2 и 3.
Тогда фи (288) = 288*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 96. Так еще шустрее, короче, почитай про нее, доказательство свойств поизучай.