Сравнение дробей с квадратными корнями в знаменателях (8 класс)

Чем больше знаменатель (если знаменатель больше нуля, а в данном случае они оба больше нуля), тем меньше значение дроби. Можно свести задачу к сравнению значений чисел √13+√11 и √14+√10.

Если первое число больше второго числа, то и квадрат первого числа больше квадрата второго числа (для неотрицательных чисел).
Возведём оба этих числа во вторую степень, а затем сравним их квадраты:

(√13+√11)^2=13+2√13*√11+11=24+2√143
(√14+√10)^2=14+2√14*√10+10=24+2√140

Очевидно, 24+2√143 > 24+2√140, значит и (√13+√11)^2 > (√14+√10)^2, а значит (так как основания степеней положительны), что и √13+√11 > √14+√10.

Остаётся сравнить на основании того, что √13+√11 > √14+√10 две исходные дроби. Поскольку √13+√11 > √14+√10, то 1/(√13+√11) < 1/(√14+√10).

простой логикой

Домножить на разницу корней. Стандартный приём.

1/(V13 + V11) =
= (V13 - V11)/(V13 - V11) * 1/(V13+V11) =
= (V13 - V11) / (V13 - V11)(V13 + V11) =
= (V13 - V11) / (13 - 11) =
= (V13 - V11)/2

1/(V14 + V10) =
= (V14 - V10)/(V14 - V10) * 1/(V14 + V10) =
= (V14 - V10) / (V14 - V10)(V14 + V10) =
= (V14 - V10) / (14 - 10) =
= (V14 - V10) / 4
=>
(V13 - V11)/2 и (V14 - V10)/4 или
(2V13 - 2V11)/4 и (V14 -V10)/4 или
(2V13 - 2V11) и (V14 - V10) - сравнить
=>
(2V13 - 2V11)^2 =
= [2*(V13 - V11)]^2 = 4*(13 - 2V(13*11) + 11) = 4*(24 -2V(V143)
и
(V14 - V10)^2 =
= 14 - 2V140 + 10 = 24 - 2V140
=> сравнить:
(4*(24 -2V(V143)) и (24 - 2V140) или
(96 - 2V143) и (24 - 2V140)
=>
(96 - 2V143) - (24 - 2V140) =
= 72 - 2V143 + 2V140 =
=72 - 2*(V143 - V140)
V121 < V143 < V144 -----> 11 < V143 < 12
=>
72 - 2*(V143 - V140) > 0
=>
1/(V13 + V11) > 1/(V14 + V10)