Олимпиадная математика. Математика

Ответ: 6.
Одно из чисел "а" равно 6. Его простые делители 2 и 3. Квадраты этих простых делителей 4 и 9. Проверяем условие: Число а=6 делится на 1=2-1 и на 2=3-1, но не делится на 4 и 9. Нужно доказать, что число 6 есть максимальное из всех.
В ряду натуральных чисел больше 6 (ряд 7; 8; 9; 10 и так далее) есть простые и составные числа.
Простые числа не подходят, ибо для них есть один простой делитель - это само число "а". Замечу, что число 1 не принадлежит к множеству простых. Число "а" не удовлетворяет условию задачи - не делится на а-1.

Остаются составные (не простые) числа. Формула таких чисел а=ху, где числа х и у - натуральные, больше пока ничего нельзя сказать - мы не знаем, какие это числа (простые или составные).
Согласно основной теореме арифметики,
Любое целое число, большее единицы, может быть разделено на простые множители, причем это разложение будет единственным (изменение порядка следования множителей не в счет).

Итак, число "а" можно представить в виде произведения простых множителей а=х*у*z*t*...
Ряд множителей уже расположен в возрастающем порядке, тогда два соседних числа равны "d-1" и "d", и в этом ряду сомножителей по условию ещё должно быть число "d", а его там уже нет (некий аналог принципа Дирихле).
Задача доказана.

1806 = 2*3*7*43.