Помогите решить уравнение при помощи комплексных чисел

z⁶ + 729 = 0.
z^6=-729
z=±корень шестой степени √-729= ± 3i

Данное уравнение имеет шесть главных корней и бесконечное количество корней вообще.

Данное конкретное неполное уравнение шестой степени разлагается на полиномиальные множители в виде неполного квадратного и биквадратного полиномов в виде:

(z^2 + 9) * ( z^4 - 9z^2 + 81) = 0

По формуле суммы кубов.

Приравняем первую скобку к нулю и находим нули полинома, уже указанные выше.

Решая вторую скобку, находим ещё четыре комплексных корня.

Так как главный комплексный корень на комплексной оси 3i, а его сопряженный — это (-3i) , делаем вывод, что все шесть комплексных корней лежат на окружности радиуса 3.

Чертим эту окружность и отмечаем на ней все шесть корней.

Сейчас будет сложная и необязательная фраза. Каждый корень главный корень является классом эквивалентности корней уравнения сетоидного типа. Гуглить "класс эквивалентности" и "сетоид". Наивным языком: каждый из шести главных корней представляет бесконечное множество корней и чтобы это множество задать, надо к каждому корню прибавить 2π , помноженное на целый параметр. Для каждого из главных корней надо выбрать отдельный параметр. То есть, 2π*k , 2π*l , 2π*m, 2π*n , 2π*o, 2π*p (например) , где k,l,m,n,o,p — целые числа. Это вы должны помнить из курса тригонометрии.

Каждый раз при появлении такого рода вопросов надо помнить основную теорему алгебры, которая наивным языком формулируется так: каждое уравнение n-й степени всегда имеет n главных комплексных корней.

В данном конкретном случае рассчет на то, что выполняющий задание ограничится извлечением корня 6-й степени из числа -729 и отрицательного корня шестой степени из того же числа и забудет про оставшиеся четыре корня и бесконечное множество корней.

Кроме всего прочего, вот такая запись неверна, так как по-умолчанию радикал обозначает арифметический корень:

⁶√-̅7̅2̅9̅ = ±3i

Для первых двух комплексных корней верна такая запись:

z⁶ + 729 = 0

(z² + 9) • ( z⁴ - 9z² + 81) = 0

(z² + 9):
1) z₁: z₁ = ⁶√-̅7̅2̅9̅ = 3i
2) z₂: z₂ = - ⁶√-̅7̅2̅9̅ = - 3i

( z⁴ - 9z² + 81):
3) [далее находим нули этого полинома]

Это связано с тем, что комплексные функции f(z) = ⁶√z̅ и f(z) = - ⁶√z̅ — разные с одной областью определения, но с разными сопряженными областями значений.

Если же Вы запишете только "⁶√-̅7̅2̅9̅ = ±3i " и скажете, что знак радикала обозначает алгебраический корень, у вас сразу же спросят, куда вы подевали оставшиеся 4 главных корня и то самое 2πk (l, m, n, o, p) .

Как видите, я не решил за Вас уравнение полностью, но надавал подсказок, достаточных для полного самостоятельного решения.

z^6=-729
z=±i*3