Помогите решить пожалуйста!!!Решите в натуральных числах х^3+7y=y^3+7x

Исходите из

a^3-b^3

разложите на множители

(x-y)( x^2+xy+y^2-7)=0

1) x=y- любое из Z- тривиальное решени

2) второй сомножитель приведете к виду

(x+y)^2-x*y=7 Затем представите в виде

(x+y)^2= 7+x*y

Так как левая часть неотрицательна, оцените правую часть

если все правильно сделаете

ПОЛУЧИТЕ

1)x=-1

y=3


2) x=3

y=-1


3)x=2

y=-3


4)x=3

y=-2

можно свести к виду

(x-y)^2-4= 3 (1-x*y)

или (x-y+2) (x-y-2)= 3* (1-x*y)

и использовать делимость на 3

Раскрою подробнее тот ответ, начиная с
x^2+xy+y^2-7 = 0
Обычно такое решают как квадратное относительно какой-нибудь переменной. Скажем х. (тут неважно, шняга симметрична)
D = y^2 - 4y^2 + 28 = 28 - 3y^2
Щоб корень был натуральным, это должно быть точным квадратом:
28 = 3y^2 + r^2.
Перебираем:
y = 0, r^2 = 28 - увы.
y = 1, r^2 = 25, r = 5. Тогда x^2 + x - 6 = 0, х = 2.
y = 2, r^2 = 16, r = 4. Тогда x^2 + 2x - 3 = 0, x = 1.
y = 3, r^2 = 1, r = 1. Тогда x^2 + 3x + 2 = 0, нет натуральных корней.
---
Таким образом, решения - это либо x = t, y = t для натуральных t, либо x = 2, y = 1, либо x = 1, y = 2.

Можно и проще:
(тоже с момента как у Павли)
x²+xy+y²=[ x²+y²+(x+y)²]/2=7
x²+y²+(x+y)²=14
До 14 у нас всего то 3 квадрата и есть 1, 4, 9
Если x=\=y. то все они здесь и представлены, причем (x+y)² как наибольший равен 9