Математика 9 класс

1) Из условия следует, что разность чисел х-у и v(x)-v(y) есть целое число. С другой стороны, x-y = (v(x)-v(y))(v(x)+v(y)), то есть эти же два числа отличаются на целый множитель. Отсюда заключаем, что оба этих числа рациональные.
2) Также из условия следует, что х+у целое число. Отсюда и из 1) следует, что х и у рациональны.
3) Также из условия х-v(x) и y-v(y) целые. А значит если u = v(x), то u является корнем квадратного уравнения u^2-u-A=0 для целого А. И равен он 1/2 (1+-v(1+4A)). Так как уже установлено, что это число рациональное, под корнем стоит полный квадрат. К тому же нечетный, поэтому данный корень есть число нечетное и само u, стало быть, целое число. Значит, и х - тоже.
Для у все аналогично.

А сейчас каникулы! Ты не забыл?

| x − y | < 2 ⇒ x 2 − 2 x y + y 2 < 4 ⇒ x 2 + 2 x y + y 2 < 4 ( 1 + x y ) ⇒ x + y < 2 x y + 1 , так как x и y положительны. Аналогично, y + z < 2 y z + 1 , z + x < 2 z x + 1 ⇒ 2 x + 2 y + 2 z < 2 x y + 1 + 2 y z + 1 + 2 z x + 1 ⇒ x + y + z < x y + 1 + y z + 1 + z x + 1