Помогите с математикой

➀
1) Тут дифференцируется линейная комбинация степенных функций:
(x⁻² - х)' = -2х⁻³ - 1 = -(х³+2)/х³;

2) (cos (x-1)²)' = 2•(x-1)•(-sin (x-1)²) =
(2-2х)•sin (x-1)²;

3) Здесь снова линейная комбинация степенных функций:
(8х^3 - х^½ + 6)' = 24х² -½•х^(-½). Запись результата в виде выражения без иррациональности в знаменателе - самостоятельно!

➁
Функция - квадратичный полином, она всюду гладкая. Находим её единственную критическую точку, в которой производная обращается в нуль:
f' = -2x + 5 = 0, x₀=2½.
При х>х₀ производная отрицательна, следовательно функция убывает.
При х<х₀ производная положительна, следовательно функция возрастает.
В критической точке х=х₀ происходит смена возрастания на убывание, следовательно это точка максимума, причём глобального. Других экстремумов нет. Значение функции в точке максимума - самостоятельно!

y = x³ - x - кубический полином, он всюду гладок.
y' = 3x² - 1 = 0 => х=±√⅓ - две критические точки функции.
При х∈(- √⅓; √⅓) производная функции отрицательна, следовательно функция убывает.
При х∈ℝ\[- √⅓; √⅓] производная функции положительна, следовательно функция возрастает.
В точке х = - √⅓ происходит смена возрастания на убывание, следовательно это точка максимума. При х=√⅓ происходит смена убывания на возрастание, следовательно это точка минимума.
Других экстремумов нет, а обе экстремальные точки включаются в промежутки монотонности:
(-∞; - √⅓] - промежуток возрастания,
[- √⅓; √⅓] - промежуток убывания,
[√⅓; +∞) - промежуток возрастания.
Значения функции в точках экстремума здесь вычислять необязательно.

P.S. В задании ➁ выяснение гладкости или негладкости функции - первостепенная задача, так как у негладких функций экстремумы могут не совпадать с критическими точками.