Задача на доказательство алгебра

Чтобы доказать, что если целочисленные векторы a1, a2, ..., ak ∈ Z^n линейно зависят от поля Q, то существуют такие числа λ1, λ2, ..., λk, взаимно простые в совокупности, что λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak = 0, мы можем использовать следующее доказательство:

Предположим, что целочисленные векторы a1, a2, ..., ak ∈ Z ^ n линейно зависят от поля Q. Это означает, что существует набор ненулевых рациональных чисел λ1, λ2, ..., λk таких, что λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak = 0.

Поскольку a1, a2, ..., ak являются целочисленными векторами, компоненты результирующего вектора λ1a1 + λ2a2 +... + λkak также являются целыми числами.

Пусть λ1, λ2, ..., λk - ненулевые рациональные числа, найденные на шаге 1. Мы знаем , что компоненты λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak - целые числа. Следовательно, мы можем записать λ1, λ2,..., λk как отношение двух целых чисел p1, p2,..., pk и q1, q2,..., qk.

Поскольку λ1, λ2, ..., λk являются ненулевыми рациональными числами, p1, p2, ..., pk и q1, q2, ..., qk также являются ненулевыми целыми числами.

Поскольку p1, p2, ..., pk и q1, q2, ..., qk являются ненулевыми целыми числами, они имеют наибольший общий делитель 1. Следовательно, λ1, λ2, ..., λk взаимно просты в совокупности.

Из шагов 1-5 мы можем заключить, что если целочисленные векторы a1, a2, ..., ak ∈ Z^n линейно зависят от поля Q, то существуют такие числа λ1, λ2,..., λk, взаимно простые в совокупности, что λ1a1 + λ2a2+... + λkak = 0.

На этом доказательство завершается.