Решите пожалуйста подробно задачу по алгебре

Ну и понаписали вам тут. Вторая производная функции у=х^4+4х^3+6х^2 + ax+b равна 12(х+1)^2, что неотрицательно при всех х. Стало быть, функция выпуклая. И не может пересекать ось абсцисс более чем в двух точках. Осталось понять, почему возможно ровно два корея. Взяв b достаточно большим по модулю отрицательным числом, можно добиться того, что минимум функции будет меньше 0.

4

наверное не больше чем показатель максимальной степени

Оно всегда имеет 4 корня, только среди ниж могут быть кратные (равны между собой) или иррациональные (т. е. не принадлежать множеству действительных чисел). но корней всегдс столько, каков показатель степени уравнения.

2. а тебе зачем?

Если комплексные корни считаются, то, конечно, 4. Ровно столько, какова степень многочлена.
А вот если ограничиться только действительными корнями, становится интересно.

x^4 + 4x^3 + 6x^2 = ax + b
Это новые a и b, у них знаки противоположные прежним.
x^2 * (x^2 + 2x + 6) = ax + b

x^2 * (x^2 + 2x + 1 + 5) = ax + b

x^2 * ((x + 1)^2 + 5) = ax + b
Выражение в скобках всегда больше 0. Значит, слева такая своеобразная "парабола" - произведение двух парабол. Справа - прямая. Корни возникают, когда эта прямая пересекает эту "параболу". Тут бы хорошо на график посмотреть - но вообще довольно чётко можно представить: слева подходит к 0 одна ветка, справа растёт от 0 другая ветка. И как это прямой ни пересекай, можно получить не больше двух точек пересечения.

Значит, вещественных корней не больше двух. Два других обязательно будут комплексно-сопряжёнными для любых значений a и b.

4 действительных и 2 комплексных