Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Задачу вашу я, конечно, решил, но только как задачу на экстремум. Действительно, пусть x наименьшее, y- наибольшее из чисел x+y+z=1
Тогда х⩽1/3, y⩾1/3 , x⩽z=1-x-y⩽y таким образом на координатной плоскости XOY множество (x,y) представляет собой треугольник с вершинами в точках (0;1/2), (0;1) и (1/3;1/3) Так как внутри области функция x²y+y²z+z²x, z=1-x-y экстремумов не имеет, то наибольшее значение может быть только на её границах. Границы: отрезки прямых 1) х=0, y∈[1/2;1] ; 2) y=1/2*(1-x), x∈[0;1/3] ; 3) y=1-2x, x∈[0;1/3]
Т.о. вдоль границ функция является кубическим многочленом от одной переменной, остается найти наибольшее значение на каждом подмножестве (границе) и выбрать большее из трёх чисел,это задача для 10 класса. Максимум достигается при a=2/3, b=1/3, c=0
Однако увы, мне не удалось задачу, не прибегая к методам анализа. А хотелось бы. Если у вас есть такое решение, напишите пожалуйста. Неравенства в некотором роде моё хобби.

Заметим, что из условия a + b + c = 1 следует, что
a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca.

Действительно, раскрывая квадрат выражения a + b + c, получаем
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1.

Вычитая из обеих частей этого равенства 2(ab + bc + ca), получаем
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 >= 0.

Отсюда следует, что
a^2b + b^2c + c^2a <= ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = (ab + bc + ca)(a + b + c) <= 1/3.

Последнее неравенство получается применением неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех чисел ab, bc, ca.

Таким образом, мы доказали, что a^2b + b^2c + c^2a <= 1/3.

Для того чтобы найти максимальное значение выражения a^2b + b^2c + c^2a, при котором достигается равенство, заметим, что равенство в неравенстве a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca достигается только тогда, когда a = b = c. Поэтому, чтобы максимизировать выражение a^2b + b^2c + c^2a, необходимо выбрать a = b = c = 1/3.

Подставляя это значение в исходное выражение, получаем
a^2b + b^2c + c^2a = (1/3) * (1/3) * (1/3) * (a + b + c) = 1/27.

Таким образом, максимальное значение выражения a^2b + b^2c + c^2a равно 1/27 и достигается при a = b = c = 1/3.