Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Индукция по n. База n=1 тривиальна. Теперь заметим, что можно понизить степени вхождения переменных в одночленах до 0 или 1, так как считаем, что хi = +-1 и xi^2 = 1. Тогда полученный многочлен Р1(х) представим в виде хn * Q(x) + R(x), где Q,R многочлены от переменных x1,..,x(n-1). Покажем, что Q(x) тоже удовлетворяет условию (далее - подходящий). Действительно , при подстановке xn = 1 получается подходящий многочлен от n-1 переменных, а при подстановке xn = -1 получается антиподходящий. Нетрудно видеть, что их разность является подходящим многочленом (так как сумма двух подходящих тоже подходящий). Но эта разность равна 2Q(x), так как все одночлены без xn сократились.
Осталось заметить, что Q(x) многочлен от n-1 переменных , поэтому по предположению индукции deg Q >= n-1. Стало быть deg P1 >= n, а deg P и подавно.

Предположим, что степень многочлена P(x_1, ..., x_n) меньше n. Тогда многочлен представим в виде:

P(x_1, ..., x_n) = ∑(i_1 + ... + i_n < n) a_{i_1, ..., i_n} x_1^{i_1} ... x_n^{i_n}

где суммирование ведется по всем наборам показателей i_1, ..., i_n, для которых i_1 + ... + i_n < n, и a_{i_1, ..., i_n} - коэффициенты многочлена.

Рассмотрим n наборов значений переменных x_1, ..., x_n, в которых одна переменная равна 1, а остальные равны -1. Для каждого набора значение многочлена равно

P(1,-1,...,-1) = a_{0,0,...,0} + a_{1,0,...,0} = a_{1,0,...,0} + a_{0,1,...,0} = ... = a_{0,0,...,1} + a_{0,0,...,2} = ... = a_{0,0,...,n-1} + a_{0,0,...,n}

P(-1,1,...,-1) = a_{0,0,...,0} + a_{0,1,...,0} = a_{0,1,...,0} + a_{0,0,...,1} = ... = a_{0,0,...,n-2} + a_{0,0,...,n} = - P(1,-1,...,-1)

P(-1,-1,...,1) = a_{0,0,...,0} + a_{0,0,...,1} = a_{0,0,...,1} + a_{0,0,...,2} = ... = a_{0,0,...,n-1} + a_{0,0,...,n} = P(1,-1,...,-1)

P(-1,...,-1) = a_{0,0,...,0} = P(1,-1,...,-1)

Второе равенство следует из того, что при переходе от одного набора переменных к другому меняется знак только для одного слагаемого многочлена.

Получаем систему уравнений

P(1,-1,...,-1) = A
P(-1,1,...,-1) = -A
P(-1,-1,...,1) = A
P(-1,...,-1) = A

где A - положительное число.

Эта система не имеет решения, так как количество уравнений (4) больше, чем количество неизвестных коэффициентов многочлена (суммарное число мономов в многочлене меньше n). Значит, предположение о том, что степень многочлена меньше n, приводит к противоречию, и степень многочлена не меньше n.