Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Пусть b1,...,bk - цифры двоичного кода числа n, тогда рассмотри a_n такую, у которой двоичный код состоит из цифр b1, b1+b2, b2+b3,...,b(k-1)+b(k). Покажи индукцией по k, что она удовл-ет всем равенствам в условии (рассмотри 4 случая с точки зрения последних двух цифр двоичного кода). Биекция, надеюсь, очевидна.

Докажем утверждение методом математической индукции.

Базис индукции: a_1 = 1. Последовательность принимает значение 1.

Предположение индукции: для всех k ≤ n последовательность принимает каждое натуральное значение ровно один раз.

Индукционный переход:

Для четных n + 1:

a_(2(n+1)) = 2a_(2(n+1)/2) = 2a_(n+1)
a_(2(n+1)+1) = 2a_(2(n+1)+1)/2 + 1 = 2a_(n+1) + 1

Таким образом, значение a_(n+1) получается из двух разных значений a_n, одно из которых четное, а другое - нечетное. По предположению индукции, все значения a_k, k ≤ n принимаются ровно один раз. Значит, значение a_(n+1) тоже принимается ровно один раз.

Для нечетных n + 1:

a_(2(n+1)) = 2a_(2(n+1)/2) = 2a_(n+1)
a_(2(n+1)+1) = 2a_(2(n+1)+1)/2 + 1 = 2a_(n+1) + 1

Аналогично, значение a_(n+1) получается из двух разных значений a_n, одно из которых четное, а другое - нечетное. По предположению индукции, все значения a_k, k ≤ n принимаются ровно один раз. Значит, значение a_(n+1) тоже принимается ровно один раз.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано: последовательность принимает каждое натуральное значение ровно один раз.