Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Предположим, что существуют. Тогда заметим, что k=0 мимо. Поэтому правая часть четна и посему числа a,b одной четности. Если оба четны, делим на 2 синхронно до тех пор, пока оба не станут нечетными. Далее, распишем левую часть по ФСУ и рассмотрим второй множитель a^2 - 2ab + b^2 по mod 8. Для нечетного числа квадрат по mod 8 равен 1. С другой стороны для нечетного числа a и a^3 дают одинаковый остаток, посему a+b как и a^3+b^3 делится на 8 и поэтому в любом случае ab mod 8 = 7. Стало быть, a^2 - 2ab + b^2 mod 8 = 4. Среди чисел вида 2^m или 7*2^m ( а именно так выглядят делители правой части) это выполняется лишь для чисел 4 и 28. Осталось аккуратно показать, что ни для одного из этих чисел не найдется натуральных решений.

Wolfram нашёл такие a,b,k:

Проверил, напрмер
(-4)^3 + 8^3 = 7*8^2
-1+ 8 = 7.

проверяй и анализируй.

1) Понятно, что четность a и b должна быть одинакова
2) Правая часть делится на 7, значит левая тоже. Ни a, ни b на 7 не делятся, т.к. в этом случае левая часть делилась бы и на 7³, а правая нет.
3) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)((a+b)²-3ab) Возможны 2 варианта:
3.1) 7 входит в состав простых множителей (a+b):
Тогда: (a+b)=7∙2ᵐ, ((a+b)²-3ab)=2ⁿ, m+n=3k=\=0, где m,n целые неотрицательные.
3.1.1) Если a и b оба нечетные ⇒((a+b)²-3ab) - нечетное⇒ n=0 ⇒ (a²-ab+b²)=1 ⇔
⇔ a²+b²+(a-b)²=2 ⇒ a=b=1, что не является решением исходного уравнения.
3.1.2) Если a и b оба четные, то представим их в виде a=2ᵖ∙a₁, b=2ᵍ∙b₁, где a₁ и b₁ нечётные ⇒ a³+b³=2³ᵖ∙a₁³+ 2³ᵍ∙b₁³
3.1.2.1) Если p=g, то имеем a₁³+ b₁³= 7∙2³⁽ᵏ⁻ᵖ⁾ причем k-p=\=0 т.к. слева чётное число. Тогда возвращаемся в пункт (3.1.1)
3.1.2.1) Если p=\=g (пусть g>p), то a³+b³=2³ᵖ∙(a₁³+ 2³⁽ᵍ⁻ᵖ⁾∙b₁³) ⇒ a₁³+ 2³⁽ᵍ⁻ᵖ⁾∙b₁³=7, но
2³⁽ᵍ⁻ᵖ⁾ уже больше 8
Т.о. доказано, что в подпункте 3.1. натуральных решений нет.
3.2) 7 входит в состав простых множителей (a²-ab+b²)=(a+b)²-3ab
Тогда: (a+b)=2ᵐ, ((a+b)²-3ab)=7∙2ⁿ, m+n=3k=\=0
3.2.1) Если a и b оба нечетные ⇒ n=0 ⇒(a²-ab+b²)=7 ⇔ a²+b²+(a-b)²=14, но число 14 представляется как сумма 3 различных квадратов однозначно:1+4+9 и эти значения нам не походят
3.2.2) Если a и b оба четные -..... все аналогично пункту (3.1.2)