Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Обозначим Сʲ₃ₖ=aⱼ
Тогда a₀=1, a₁=3k, a₂= ½ a₁( a₁-1), a₃=⅓ a₂(a₁-2),...., aₖ=(1/k)·aₖ₋₁(a₁-k+1),
aₖ₊₁=1/(k+1) ·aₖ(a₁-k)
aₖ/aₖ₋₁=(1/k)·(a₁-k+1)=(1/k)·(3k-k+1)=(1/k)·(2k+1)=2+(1/k)>2
aₖ₊₁/aₖ=1/(k+1)·(a₁-k)=1/(k+1)·2k= 1/(k+1)·(2k+2-2)=(2(k+1)-2)/(k+1)=2-2/(k+1)<2
То есть каждое из чисел {aⱼ :j=1,2...k} больше предшествующего более чем в 2 раза, и aₖ=Сᵏ₃ₖ -последнее такое число.
aₖ>2aₖ₋₁=aₖ₋₁+aₖ₋₁>aₖ₋₁+2aₖ₋₂=aₖ₋₁+aₖ₋₂+aₖ₋₂>aₖ₋₁+aₖ₋₂+2aₖ₋₃>....>aₖ₋₁+aₖ₋₂+aₖ₋₂+....+2a₁>aₖ₋₁+aₖ₋₂+aₖ₋₂+....+a₁+a₀
Прибавляя к обеим частям неравенства aₖ>aₖ₋₁+aₖ₋₂+aₖ₋₂+....+a₁+a₀
aₖ получим требуемый результат.

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальной теоремой:
(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 * x + C_n^2 * x^2 + ... + C_n^n * x^n

Подставим x = 1 в данную формулу:
(1 + 1)^{3k} = C_{3k}^0 + C_{3k}^1 + C_{3k}^2 + ... + C_{3k}^{3k}

Заметим, что выражение (1 + 1)^{3k} можно представить в виде суммы двух выражений, используя бином Ньютона:
(1 + 1)^{3k} = C_{3k}^0 + C_{3k}^1 + C_{3k}^2 + ... + C_{3k}^{3k} + C_{3k}^0 - C_{3k}^{3k}

Вычитая из обеих частей данного равенства C_{3k}^0 и C_{3k}^{3k}, получим:
2^{3k} - 1 = C_{3k}^1 + C_{3k}^2 + ... + C_{3k}^{3k-1} + C_{3k}^k * 2

Заметим, что каждое из слагаемых C_{3k}^1, C_{3k}^2, ..., C_{3k}^{3k-1} является сочетанием из 3k чисел по k элементов. Таким образом, сумма всех этих сочетаний равна числу сочетаний из 3k чисел по k элементов, то есть C_{3k}^k.

Следовательно, мы можем переписать полученное равенство в виде:
2^{3k} - 1 = C_{3k}^k * (1 + 2)

Таким образом, получаем неравенство:
C_{3k}^0 + C_{3k}^1 + C_{3k}^2 + ... + C_{3k}^{k-1} < C_{3k}^k

что и требовалось доказать.