Помогите решить задачу

№ 135.

(4 – a)x² – 6ax + 3 = 0

I) 4 – a = 0, a = 4, один корень.
x = 1/8, удовлетворяет условию –1 ≤ x < 3.

II) 4 – a ≠ 0, a ≠ 4
Сокращённый дискриминант d = 9a² – (4 – a)∙3 = 9a² + 3a – 12.
В зависимости от знака d уравнение имеет разное количество корней.

А) d > 0, два корня
9a² + 3a – 12 > 0
Dₐ = 3² + 4∙9∙12 = 441 = 21², a₁ = –4/3, a₂ = 1.
a < –4/3 ∨ a > 1 (*)
x₁ = (3a – √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a), x₂ = (3a + √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a)

Определим, при каких a корни удовлетворяют условию –1 ≤ x < 3.

–1 ≤ x₁ < 3

1.1) –1 ≤ x₁
–1 ≤ (3a – √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a)
(2a + 4 – √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) ≥ 0
Для определения промежутков знакопостоянства решим 2a + 4 – √(9a² + 3a – 12) = 0.
√(9a² + 3a – 12) = 2a + 4
2a + 4 ≥ 0, a ≥ –2
9a² + 3a – 12 = 4a² + 16a + 16
5a² – 13a – 28 = 0
Dₐ = 13² + 4∙5∙28 = 729 = 27², a₁ = –7/5, a₂ = 4.
... – ... [–7/5] ... + ... (4) ... + ...
–7/5 ≤ a < 4 ∨ a > 4
С учётом (*) получаем –7/5 ≤ a < –4/3 ∨ 1 < a < 4 ∨ a > 4.

1.2) x₁ < 3
(3a – √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) < 3
(6a – 12 – √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) < 0
Для определения промежутков знакопостоянства решим 6a – 12 – √(9a² + 3a – 12) = 0.
√(9a² + 3a – 12) = 6a – 12
6a – 12 ≥ 0, a ≥ 2
9a² + 3a – 12 = 36a² – 144a + 144
27a² – 147a + 156 = 0
Dₐ = 147² – 4∙27∙156 = 4761 = 69², a₁ = 13/9, a₂ = 4. С учётом a ≥ 2 остаётся a = 4.
... – ... (4) ... – ...
a < 4 ∨ a > 4
С учётом (*) получаем a < –4/3 ∨ 1 < a < 4 ∨ a > 4.

Корень x₁ удовлетворяет условию –1 ≤ x₁ < 3 при –7/5 ≤ a < –4/3 ∨ 1 < a < 4 ∨ a > 4.

–1 ≤ x₂ < 3

2.1) –1 ≤ x₂
–1 ≤ (3a + √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a)
(2a + 4 + √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) ≥ 0
Для определения промежутков знакопостоянства решим 2a + 4 + √(9a² + 3a – 12) = 0.
√(9a² + 3a – 12) = –2a – 4
–2a – 4 ≥ 0, a ≤ –2
9a² + 3a – 12 = 4a² + 16a + 16
5a² – 13a – 28 = 0
Аналогично п. 1.1 a₁ = –7/5, a₂ = 4. С учётом a ≤ –2 решений нет.
... + ... (4) ... – ...
a < 4
С учётом (*) получаем a < –4/3 ∨ 1 < a < 4.

2.2) x₂ < 3
(3a + √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) < 3
(6a – 12 + √(9a² + 3a – 12)) / (4 – a) < 0
Для определения промежутков знакопостоянства решим 6a – 12 + √(9a² + 3a – 12) = 0.
√(9a² + 3a – 12) = –6a + 12
–6a + 12 ≥ 0, a ≤ 2
9a² + 3a – 12 = 36a² – 144a + 144
27a² – 147a + 156 = 0
Аналогично п. 1.2 a₁ = 13/9, a₂ = 4. С учётом a ≤ 2 остаётся a = 13/9.
... – ... [13/9] ... + ... (4) ... – ...
a < 13/9 ∨ a > 4
С учётом (*) получаем a < –4/3 ∨ 1 < a < 13/9 ∨ a > 4.

Корень x₂ удовлетворяет условию –1 ≤ x₂ < 3 при a < –4/3 ∨ 1 < a < 13/9.

Б) d = 0, один корень.
9a² + 3a – 12 = 0
Аналогично п. А a₁ = –4/3, a₂ = 1.
При a = –4/3 корень x = -3/4, удовлетворяет условию –1 ≤ x < 3.
При a = 1 корень x = 1, удовлетворяет условию –1 ≤ x < 3.

В) d < 0, корней нет.
9a² + 3a – 12 < 0
Аналогично п. А –4/3 < a < 1.

Ответ:
1 при a < –7/5,
2 при –7/5 ≤ a < –4/3,
1 при a = –4/3,
0 при –4/3 < a < 1,
1 при a = 1,
2 при 1 < a ≤ 13/9,
1 при a > 13/9.


(В комментарии решение № 132, сюда не влезло.)

4x²-2x+a=0 |x|=1
Для решения данной задачи нужно решить квадратное уравнение 4x²-2x+a=0 и проверить, удовлетворяют ли корни условию |x|=1.

Дискриминант квадратного уравнения равен D = (-2)² - 4*4*a = 4-16a.

Если D>0, то уравнение имеет два различных корня; если D=0, то уравнение имеет один корень кратности 2; если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.

Так как условие |x|=1 означает, что x может быть равен 1 или -1, то нужно найти значения параметра a, при которых уравнение имеет корни 1 и -1.

Подставим x=1 в уравнение 4x²-2x+a=0:

4*1²-2*1+a=0
4-2+a=0
a=-2

Подставим x=-1 в уравнение 4x²-2x+a=0:

4*(-1)²-2*(-1)+a=0
4+2+a=0
a=-6

Таким образом, при a=-2 и a=-6 уравнение имеет корни 1 и -1.

Ответ: a=-2 или a=-6.