Помогите решить задачу по комбинаторике, пожалуйста.

Из каждой школы выделим некое "экстрамножество" (далее ЭМ): если в школе m мальчиков и d девочек, то туда войдут |m-d| школьников доминирующего пола. И так по всем школам. Тогда :
1) среди матчей без участия ЭМ однополых и разнополых матчей будет поровну и
2) среди матчей с ровно одним участником из ЭМ тоже поровну.
Это означает, что вклад в разницу между однополыми и разнополыми дают только матчи между обоими из ЭМ. Поэтому забудем про остальных и рассмотрим только ЭМ.

В нем , конечно же, разница между М и Д не больше 1. Покажем для начала, что из каждой школы в ЭМ не более 1 ученика. Пусть хотя бы 2, без огр. общности, мальчика. Тогда для каждого из них разнополых матчей больше хотя бы на 1 (так как среди остальных девочек больше). Это дает вклад в разницу между однополыми и разнополыми матчами хотя бы 2. Но скомпенсировать ее не получится, так как для КАЖДОГО ученика из ЭМ разнополых матчей НЕ МЕНЬШЕ, чем однополых.

Итак, в ЭМ m мальчиков и (m-1) / m / (m+1) девочек и все играли друг с другом. Тут два случая:
1) М и Д поровну по m,
2) одних m, других m+1.
В обоих случаях разница между однополыми и разнополыми равна m, поэтому m = 0 или m = 1. Отсюда в ЭМ может быть 0 либо 1 либо 2 либо 3 ученика, но не больше. Осталось заметить, что мощность ЭМ как раз обозначает количество школ с нечетным числом участников.

И как это люди такие задачи решают!..)