Помогите решить задачу по комбинаторике, пожалуйста.

5 слоев.
Пример покажу для 4х5, аналогично строится для 10х11.

 11223.  31122

22113.  32211

11224.  41122

22114.  42211 

Эти два слоя закрывают все вертикальные перегородки;

 12121.  12233.  22331

12121.  14545.  45451

21212.  34545.  45453

21212.  32211.  22113 

Эти три слоя закрывают все горизонтальные.

Теперь покажем почему 4 слоями нельзя обойтись.
Рассмотрим раздел между 2 и 3 горизонталями. Он состоит из 11 перегородок. При этом в каждом слое четное число доминошек, закрывающих их (подумай почему). Поэтому при любом раскладе хотя бы одна перегородка будет закрыта дважды. Если эта перегородка НЕ крайняя, то рассмотрим клетку выше нее. У нее с 4 сторон 4 перегородки, каждая должна быть закрыта на СВОЕМ слое, причем одна закрыта дважды, значит все 4 перегородки могут быть закрыты не менее чем на 5 слоях.

Теперь пусть она крайняя. Заметим, что угол можно накрыть лишь 4 способами:

 11. 11. 122. 12

22. 2.  1.   12

    2 

Видно, что в этом случае вторая конфигурация должна присутствовать дважды. При этом все 4 должны встретиться, иначе какая-то перегородка будет не закрыта. Поэтому опять-таки потребуется не менее 5 слоев.

Заметим, что каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Так как доска имеет четную размерность 10х11, то количество белых и черных клеток на ней равно, а значит, количество доминошек, необходимых для ее полного покрытия, также должно быть равно.

Из условия задачи следует, что каждый слой состоит из 55 доминошек. Таким образом, первый слой покрывает 110 клеток (55 черных и 55 белых), второй слой - еще 110 клеток, и т.д. Таким образом, чтобы покрыть всю доску, необходимо использовать не менее 2 слоев.

Рассмотрим теперь, каким образом можно покрыть доску двумя слоями. В первом слое доминошки занимают клетки с четными координатами по обеим осям, а во втором слое - клетки с нечетными координатами. Таким образом, каждая доминошка из первого слоя будет иметь общую сторону с двумя доминошками из второго слоя, покрывая всю доску. Следовательно, наименьшее количество слоев, при котором находится хотя бы одна доминошка над всеми общими сторонами соседних клеток доски, равно 2.