Предоставить машину на осмотр эксперту страховой компании или автоэкспертиза?

Да, так и есть. Страховые предоставляют свою экспертизу, якобы независимую. И рассчитывают ущерб на ее основании. Как правило, сумма экспертизы пострадавших не устраивает - она сильно занижена и много отличается от реальных требуемых затрат. Кстати, не факт, что вы получите сумму, указанную в экспертизе. И ее СК занижают, только об этом пострадавший узнаёт уже после выплаты. Поэтому схема стандартная: после экспертизы СК-выплаты ущерба делаете свою независимую экспертизу за свой счет, не забыв пригласить представителя СК телеграммой с уведомлением, СК разницу платить отказывается, подаете в суд на СК и, как правило, выигрываете дело. Причем все Ваши издержки должны быть компенсированы.

независимую СК может не оплатить

оценщику от СК вы обязаны машину предоставить, а делать ли независимую - дело ваше.
деньги за нее вы отобьете только через суд.
для начала подождите, что предложит страховая.

у всех страховых компаний экспертиза типа независимая, и многие страховые откажутся брать у тебя результат другого эксперта. Поэтому для начала пройди экспертизу от страховой, узнай, сколько тебе насчитали ущерба, и если не устраивает - пойдешь уже другому, более независимому :)) эксперту.
Разницу между экспертизами будешь требовать со страховой через суд.
кстати, еще такой момент - если идешь на экспертизу от страховой - не платишь за нее ни копейки, если к другому эксперту - то уже за деньги. У нас это примерно 3 тыс.

Статья 12. Определение размера страховой выплаты
3. Страховщик обязан осмотреть поврежденное имущество и (или) организовать его независимую экспертизу (оценку) в срок не более чем пять рабочих дней со дня соответствующего обращения потерпевшего, если иной срок не согласован страховщиком с потерпевшим.
Если страховщик не осмотрел поврежденное имущество и (или) не организовал его независимую экспертизу (оценку) в установленный пунктом 3 настоящей статьи срок, потерпевший вправе обратиться самостоятельно за такой экспертизой (оценкой) , не представляя поврежденное имущество страховщику для осмотра.