У меня генератор на ВАЗ 21124 хандрит!

если на гене 14В, а на АКБ меньше, то ищите проблемы в схеме, идут большие потери.. .
простейший пример, это взять тестер, и проверить напряжение между "-" на АКБ и кузовом авто, думаю сразу найдется разница)) )
для того, чтоб уменьшить потери, для начала необходимо зачистить все контакты, т. е. снять клеммы, почистить их, снять провод с АКБ и двигателя, их зачистить и так все соединения, так же бывают большие потери в минусовом проводе, который идет от АКБ к кузову, просто бывает плохо обжат.. .
в данном случае можно дополнительно поставить медную шинку, продается практически в любом магазине, да и стоит не так уж и дорого =)
А БК показывает напряжение на АКБ, а не на гене... оттуда и такая разница с показаниями тестера...

Возьми побольше сечение провода на подключение магнитолы.

Есть реле зарядки. Надо проверить.

говоришь менял элементы геника?? ? а пробовал просто зачистить все клемы на гене и на АКБ?? ? мне это оч помогло особенно зимой на 2115.навернулся гена и я решил его сделать поменял ротор так как там кольцам хана и решил пока собираю все прочистить и шкурочкой пройтись после осенней грязи поставил гену на место все заработал и чет решил еще клемы на АКБ почистить так после этого даже на бортовом компе пишется 13.6 без напряга, с фарами и печкой 12 с чемто, и авто стал легче заводится. попробуй сделать так же тем более это не требует вложений финансовых, только руки нужны и времени немного...

мож ремень подтянуть или поменять

а если выключить фары и печку и попробовать включить магнитолу (я это к тому что может проблема не с генератором а с магнитолой)