Можно ли на одну банковскую карту MasterCard/Visa завести счета и в Евро, и в рублях?

смысла нет, когда заграницей тратишь деньги с рублевого счета они просто переводятся по курсу ЦБРФ в нужную валюту. А технически скажу 1 счет - 1 валюта. А подобного рода вещи (описанные тобой) практикуются для юр. лиц, потому что зачастую они закупаются в одной валюте, а прибыль получают в другой. Конечно вопрос лучше в банке задать, все-таки это сугубо индивидуально, если банк готов, почему нет.

Алексей, можно.
Есть как минимум два варианта:

1. Мультивалютная карта ВТБ24, к которой прикрепляются 3 счета: рубли, евро, доллары. Основной счет в рублях. При проведении операций в иной валюте списание осуществляется со счета в той валюте, в которой производятся расчеты банка с платежной системой (для Visa — в долларах, для MasterCard — в евро) . Конвертация производится по курсу банка (он близок к ЦБ) . Балансы валютных счетов ведутся в рублях (т. е. идёт пересчет по курсу банка) . Особых преимуществ у карты нет. Обслуживание классической карты обойдётся в 750 руб /год.

2. В рамках пакетов услуг Альфа-Банка открывается три текущих счета (рубли, евро, доллары) и до 5 карт. Можно, конечно 1 выпустить, но на стоимость это не повлияет. Вы можете в любой момент по звонку в колл-центр "привязывать" любую из карт к счету в любой валюте (привязка\отвязка бесплатна) . Пакет услуг для классических карт (до 5 шт) + интернет-банкинг обойдётся до 129 р / мес. (в ВТБ24 обслуживание интернет-банкинга + 300 руб. /год)