Могут ли через полгода после трудоустройства повысить в должности?

В принципе, могут повысить даже через пару недель! :-) То есть, когда начальство убедится в перспективности работника и в том, что он "вытянет" предложенную должность... :-\ И да, повышения (по крайней мере в больших фирмах) как правило носят системный характер. То есть, к примеру, уходит на пенсию Ген. Дир и его место автоматом занимает один из его замов. Соответственно, на освободившуюся должность зама назначается один из помощников зама либо руководитель отдела, а на его место - его зам и так вплоть до некоего рядового работника, которого "поднимают" до уровня мелкого начальника навроде бригадира или какого иного руководителя небольшой группы. :-)

Повышение это не обязанность работодателя, а только его желание. Захочет - повысит, нет - нет. Ему виднее, от Вас ничего не зависит.

А еще сказка о повышении заменяет оплату переработок, можно наврать о повышении и полгода бесплатно эксплуатировать персонал. Это очень выгодно, кстати.

Естькомпании, которые разрабатывают целое "Положение о карьерном росте". В этом документе они четко прописывают кто, на что, через какое время и благодаря каким "подвигам" может быть переведен на другую должность. Чаще всего они используются в торговле - стажер - продавец - старший продавец - зав. секцией/отделом - зав. маг. Чтобы перейти на новую должность, как правило, нужно отработатть какое-то определенное время на предыдущей должности и сдать экзамен на знание товарной матрицы, правил торговли, кодексов и т. п.
У бюджетников таже история. Учителя раз в 5 лет проходят аттестацию и получают категорию, от которой зависит зарплата. Проходят обучение и становятся завучами, директорами школ. В армии и на госслужбе - чины.
Если коллеги говорят, что всё будет хорошо, значит у них такое положение о карьерном росте есть, или это часть их неписанной корпоративной культуры (так принято).