Должны ли дети расти с животными?

Нет, не должны.
Но это полезно, особенно с собакой. Потому что именно собака предоставит наибольшее кол-во обратных связей. Грубо говоря, это наиболее сложный тренировочный снаряд из доступных для ребёнка. Поэтому желательно собаку довольно крепкую, а не чиха или тоя.
Кроме того, при животных уменьшается риск аллергии.
Возраст - в принципе любой, как ребёнок начал общаться с окружающим миром.

мы в свой дом переехали в 2 годика дитю. и сразу у нас появился котёнок который прожил 13 лет) и практически он кот баюн) я никогда не укладывала сына) это делал кот) уложит-и уходит) иногда оставался-в ноги ему сползёт) и мы всегда были спокойны когда он с котом) собака была сенбернарша-тоже дружили) детям прививается забота) ласка)

Слышала по ТВ, если рядом с ребенком с рождения живет кошка, то у ребенка не будет аллергии на шерсть животных.

Не должны.
Точнее, нельзя заводить животное только для того, чтобы ребёнок с ним игрался и общался. Животное - это не игрушка, а живое существо и ещё один член семьи. Это ещё один маленький ребёнок, который не может сказать, где у него болит, которого надо всему учить, за которым надо убирать.
Само по себе наличие животного в доме ребёнка ничему не научит. Важно ещё и отношение родителей к животному. Если родители показывают ребёнку, что надо собаке воды в миску налить, что за хомяком надо каждый день клетку убирать, что кошку нельзя дёргать за хвост, то ребёнок будет учиться ответственности, любви к животным, уходу за ними. А если родители на животных орут, не ухаживают за ними, пинают, то и ребёнок научится только тому, что животное - это вещь, которую можно сломать или выбросить.
Что касается времени для заведения животного, то лучше это делать тогда, когда ребёнку исполнится лет 6-7. Тогда и у родителей будет больше времени на уход за животным, и ребёнок будет осторожнее к животному относиться, и животное вряд ли ребёнку навредит.
Конечно, можно и в любое другое время питомца завести. Но там уже могут быть некоторые сложности. Если питомца заводят до рождения ребёнка или при маленьком ребёнке, то часто бывают случаи, когда животное потом оказывается не нужно: у ребёнка аллергия, родители не успевают следить за ребёнком и за питомцем, появляется паранойя, что собака ребёнка укусит или кот ребёнка разбудит. Бывают случаи, когда кот или собака ревнуют, нервничают и начинают писать на пол. И родители в таком случае могут забыть, что они в ответе за тех, кого приручили... и животное, в лучшем случае, пристроят в добрые руки, а в худшем оно окажется в приюте, на помойке или на усыплении. Маленький ребёнок может навредить животному: уронить, ударить, ткнуть в глаз, брызнуть каким-нибудь спреем в морду. Животное на это может ответить закономерной агрессией, самозащитой.
Так что, животное - это полезно: ребёнок и общается, и привыкает не бояться животных, и иммунитет вырабатывается. Но при этом нельзя забывать, что и за ребёнком, и за животными нужно следить, контролировать их общение. Иначе можно пополнить либо ряды страшилок про то, как кот лицо ребёнку расцарапал, либо ряды страшилок про то, как ребёнок хомяка в кастрюльку с кипятком опустил.

Я вырос с котом, теперь хорошо кошек понимаю. Социализировался нормально, университет благополучно закончил.

Хорошт, если будут животные. Мы своей доче на 6 лет подарили кошечку

никогда у меня не возникало такого вопроса. сколько себя помню у нас всегда были собаки, периодически кошки и хомяк... и мои дети выросли рядом с животными. без живности дом для меня пустой.
думаю, что животные положительно влияют на развитие ребенка, но заводить животное можно только тогда, когда вы любите их, а не потому что так надо.

Возможно. Хотя бы потому, что только люди убивают ради удовольствия. Животным это не свойственно