Если истец уменьшит исковые требования, может ли он снова обратиться в суд с новым иском - с отброшенной частью?

Мне кажется имеет полное право. И это подтверждается судебной практикой.
Вот например одна из них:
Согласно ч. 2 ст. 220 ГПК РФ суд прекращает производство по делу в случае, если имеется вступившее в законную силу и принятое по спору между теми же сторонами, о том же предмете и по тем же основаниям решение суда или определение суда о прекращении производства по делу в связи с принятием отказа истца от иска или утверждением мирового соглашения сторон.
Тождество иска определяется двумя его составными частями - предметом и основанием при совпадении субъектного состава. Предмет иска - это конкретное материально-правовое требование истца к ответчику, вытекающее из спорного правоотношения. Основание иска составляют юридические факты, на которых истец основывает материально-правовое требование к ответчику, обстоятельства (создающие, изменяющие права и обязанности сторон или же препятствующие возникновению прав и обязанностей), из которых вытекает право требования истца и на которых истец их основывает. Если полного тождества нет и лишь часть фактов основания нового иска установлена уже вынесенным решением, то прекращение производства по делу в силу процессуального закона невозможно, дело по иску подлежит рассмотрению по существу.

Определение Пермского краевого суда от 14.05.2012 по делу N 33-4018
Однако тут надо обратить внимания на срок исковой давности!

Не имеет! Иск удовлетворен, стороны согласились, решение суда вынесено. По тем же самым основаниям и предмету, которые были в первоначальном иске, иск подать вновь уже нельзя. Уменьшение требований по предмету иска, это и есть частичный отказ от первоначального требования по иску.
Не в детской песочнице.. отдай всю шоколадку, ну ладно только половину. Подумать и вновь требовать целую.

Имеет, если будет другой предмет иска.
По тому же предмету и по тем же основаниям суд прекратит производство по делу.