Можно ли убрать эту стену и переместить батарею? Ремонт

можно

да все так делают эта хрень не несёт нагрузку-но нужно кучу всяких разрешений да и отключать отопление среди зимы вам не позволят

многие убирают

Умным - нельзя. Неразумным - можно. Но штраф за такую перделку будет большим. Дай бог что бы стоимости квартиры хватило.
Особенно когда попадается разбирающийся сосед. Который "оштрафует" на пару недель больнички, или сразу в инвалиды 2-й или 1-й группы отправит ...

Можно. Но это долго и дорого. Если официально.

Официально нет, неофициально можно!
Вы меняете данные указанные в паспорте на квартиру. Была лоджия, стала жилая комната.
Проходил телый контур дома, вы его прервали ил изменили.
При получении нового паспорта в БТИ будут сложности. Если паспарта не нужны, продавать переоформлять на кого то не планируется, то можно творить что угодно, кроме откровеного терракта.
Чтоб сделать оффициально, надо все это дело согласовывать. В разных регионах процедуры отличаются.

Нельзя! Даже если кому то там взятку дашь, потом квартиру не продашь если что. Если прям подробно нужно узнать, посмотри на ютубе Алексея Земскова, он в одном из своих недавних видео подробно рассказывает почему нельзя и какие последствия. А если вот так как на фото сделать, чем вам не нравится? Красиво же. Ну если это зал, то конечно нет наверно, не то. А спальню ого го можно оформить!

Да.

валяй...