Линолеум в квартире в некоторых местах порвался. И оттуда вылетает пыль и песок. Как можно было этого избежать?

Заменить нужно линолеум на более дорогой и толстый.

Линолеум, уложенный на невыровненный пол, быстро протрётся по-любому. Да и на ровном полу тоже - особенно на стыках листов линолеума.
Лучше, чем линолеум, ламинат. Пусть ненамного.
Совсем хорошо - паркетная доска: например, драгоценный инкрустированный паркет во дворце графа Шереметьева в Останкине, перестроенного к приезду самого Государя Императора, по сути представляет собой "паркетную доску".
Паркетная доска белорусского производства весьма доступна по цене (не намного дороже хорошего ламината) при вполне достойном качестве.
Штучный паркет, который ещё в середине 60х запросто стелили и в школах, и в панельных хрущёвках, теперь считается "художественным паркетом"...

Пол нужно было обеспылить и загрунтовать грунтом типа CT 17 - Ceresit .
Водно-дисперсионная грунтовка глубокого проникновения
Грунтовка CT 17 предназначена для обработки поверхностей перед нанесением штукатурных и напольных смесей, плиточных клеев и т. д.

СВОЙСТВА
укрепляет поверхность и связывает пыль;
снижает впитывающую способность основания;
имеет высокую проникающую способность;
не снижает паропроницаемость основания;
светло-желтый цвет позволяет легко отличить загрунтованную поверхность от незагрунтованной;
может применяться на стяжках с подогревом;
доступна также в морозостойкой версии «Зима»;
пригодна для наружных и внутренних работ;
экологически безопасна
ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ
Применяется для обработки всех видов впитывающих оснований: бетона, цементно-песчаных штукатурок и стяжек, известковых и гипсовых штукатурок, легкого и ячеистого бетона, ангидритных стяжек, кладок из кирпича и природного камня, древесностружечных и древесноволокнистых плит, гипсокартона и т. д. Обладает высокой проникающей способностью, снижает впитывающую способность оснований, связывает пыль, укрепляет поверхность, предотвращает пересыхание тонкослойных выравнивающих смесей, повышает адгезию материалов к основанию, повышает растекаемость напольных смесей и предотвращает появление пузырьков воздуха на выравнивающем слое. Благодаря содержанию пигмента позволяет легко отличить обработанную поверхность.

Избежпть этого это промто положить на пол листы фанеры, а на него линолеум

Подготовить пол обеспылив и прогрунтовать и приклеить линолеум

ламинат тебе в помощь