МОГУ ЛИ Я НА ЗАСЕДАНИИ УГОЛОВНОГО ДЕЛА ЧАСТНОГО ОБВИНЕНИЯ...

Нет, переквалификация в указанном Вами виде НЕ возможна. Можете заявить ходатайство о прекращении уголовного преследования по делу и направлении материалов в полицию для производства предварительного следствия. Суд также вправе принять данное решение самостоятельно. Однако, для подтверждения степени тяжести телесных повреждений - обязательное производство судебно-медицинской экспертизы и получение по ней заключения. Посему, если такая экспертиза НЕ проводилась, заявите ходатайство о ее назначении, судья назначит, получит заключение в соответствии с выводами которого примет процессуально грамотное решение.
В соответствии с ч. 6 ст. 321 УПК РФ если в ходе судебного разбирательства в действиях лица, в отношении которого подано заявление, будут установлены признаки преступления, не отнесенного к делам частного обвинения, то мировой судья выносит постановление о прекращении уголовного преследования по делу и направлении материалов руководителю следственного органа или начальнику органа дознания для решения вопроса о возбуждении уголовного дела в порядке публичного или частно-публичного обвинения, о чем уведомляет потерпевшего или его законного представителя.

со состава преступления "побои" на состав преступления "причинение вреда средней тяжести" будет сложно сделать, но можно. . там разные виды уг. преследования, соответственно будет возбуждено новое у. дела по иному производству.. ст. 116-относится к делам частного обвинения, т. е. по дело возбуждается по жалобе потерпевшего мир. судье, а ст. 112- имеет вид публичного обвинения, т. е. с участием прокурора, дознавателя и иных лиц..!!