Может ли мировой судья возбудить дело частного обвинения в отношении депутата Государственной Думы?

Нет, этого он не сможет ибо:

УПК выделяет специальный порядок возбуждения уголовных дел в отношении лиц, обладающих профессиональным иммунитетом. Предписания ст. 448 УПК РФ предусматривают особую процедуру разрешения вопроса о возбуждении уголовного дела в отношении члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы; судьи Конституционного Суда РФ, судьи федерального суда общей юрисдикции или федерального арбитражного суда, мирового судьи, присяжного или арбитражного заседателя в период осуществления им правосудия; Уполномоченного по правам человека в РФ; Президента РФ, прекратившего исполнение своих полномочий, а также кандидата в Президенты РФ; прокурора; Председателя Следственного комитета при прокуратуре РФ; руководителя следственного органа; следователя; адвоката и некоторых других лиц.

Порядок принятия решения о возбуждении уголовного дела в отношении этих лиц несколько усложнен и имеет ряд существенных отличий. В большинстве случаев такое решение выносит Председатель Следственного комитета при прокуратуре РФ или иной руководитель соответствующего следственного органа Следственного комитета при прокуратуре РФ.

Исходя из содержания норм закона, на возбуждение уголовного дела в отношении некоторых категорий лиц, указанных в ст. 447 УПК РФ, требуется также: заключение коллегии из трех судей Верховного Суда РФ о наличии в действиях лица признаков преступления (в отношении Генерального прокурора РФ, Председателя Следственного комитета при прокуратуре РФ), согласие Совета Федерации или Государственной Думы (в отношении члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы), согласие Председателя Следственного комитета при прокуратуре РФ (в отношении зарегистрированного кандидата в депутаты Государственной Думы), согласие руководителя следственного органа Следственного комитета при прокуратуре РФ (в отношении зарегистрированного кандидата в депутаты законодательного (представительного) органа государственной власти субъекта Российской Федерации). Отсутствие указанных заключения или согласия является основанием для отказа в возбуждении уголовного дела даже при наличии предусмотренных законом повода и основания для возбуждения уголовного дела.

В процессе устанавливается личность обвиняемого лица и дело передается в СК РФ

высшая власть это народ, а не суд. есть особый порядок возбуждения дел в т. ч. надо согласие думы и совета федерации.

Нет, только если так надо будет

Без народа не может.