Могу ли я просить закрытое слушание дела о разводе?

просить закрытое слушание можете, но просьбу не удовлетворят....

Бракоразводные дела ведут мировые судьи и свидетелей они вправе не пускать на заседания.

Нет, не можете. Но вы можете в суде заявить свой протест если в зале заседания будет находится свекровь и выкрикивать что либо с места, А тем более если она не будет заявлена как свидетель, то и делать ей в зале суда не чего.

Обратись с ходатайством к суду перед заседанием. Посмотри ГПК РФ:
Статья 10. Гласность судебного разбирательства

1. Разбирательство дел во всех судах открытое.
2. Разбирательство в закрытых судебных заседаниях осуществляется по делам, содержащим сведения, составляющие государственную тайну, тайну усыновления (удочерения) ребенка, а также по другим делам, если это предусмотрено федеральным законом. Разбирательство в закрытых судебных заседаниях допускается и при удовлетворении ходатайства лица, участвующего в деле и ссылающегося на необходимость сохранения коммерческой или иной охраняемой законом тайны, неприкосновенность частной жизни граждан или иные обстоятельства, гласное обсуждение которых способно помешать правильному разбирательству дела либо повлечь за собой разглашение указанных тайн или нарушение прав и законных интересов гражданина.
3. Лица, участвующие в деле, иные лица, присутствующие при совершении процессуального действия, в ходе которого могут быть выявлены сведения, указанные в части второй настоящей статьи, предупреждаются судом об ответственности за их разглашение.
4. О разбирательстве дела в закрытом судебном заседании в отношении всего или части судебного разбирательства суд выносит мотивированное определение.
5. При рассмотрении дела в закрытом судебном заседании присутствуют лица, участвующие в деле, их представители, а в необходимых случаях также свидетели, эксперты, специалисты, переводчики.
6. Дело в закрытом судебном заседании рассматривается и разрешается с соблюдением всех правил гражданского судопроизводства.
7. Лица, участвующие в деле, и граждане, присутствующие в открытом судебном заседании, имеют право в письменной форме, а также с помощью средств аудиозаписи фиксировать ход судебного разбирательства. Фотосъемка, видеозапись, трансляция судебного заседания по радио и телевидению допускаются с разрешения суда.
8. Решения судов объявляются публично, за исключением случаев, если такое объявление решений затрагивает права и законные интересы несовершеннолетних.

Если это дело о разводе, то при чем тут какая вы мать? Вы плохая, поэтому и разводитесь с сыном. Не отрицайте. Пусть орет. О протесте вам уже написали.

В таком порядке слушаются дела о изнасилованиях, политические (вроде бы)

Можете, если там будут рассматриваться интимные подробности семейной изни, например.

Вы можете вообще не присутствовать на суде, не важно истец вы или ответчик. Для этого напишите заявление о том чтобы рассмотрели дело в ваше отсутствие. При разводе про детей даже слушать не будут. Если есть спор о детях- это уже в другой суд.

Судья в исключительных случаях может принять решение о проведении судебного заседания в закрытом режиме) ) однако для этого вы должны очень хорошо аргументировать свою позицию)))) )
Позиция указанная вам здесь не очень хорошая) ) может придумать что нить еще))

Разбирательство в закрытых судебных заседаниях осуществляется только по делам, содержащим сведения, составляющие государственную тайну, тайну усыновления (удочерения) ребенка, а также по другим делам, если это предусмотрено федеральным законом. Разбирательство в закрытых судебных заседаниях также допускается при удовлетворении ходатайства лица, участвующего в деле и ссылающегося на необходимость сохранения коммерческой или иной охраняемой законом тайны, неприкосновенность частной жизни граждан или иные обстоятельства, гласное обсуждение которых способно помешать правильному разбирательству дела либо повлечь за собой разглашение указанных тайн или нарушение прав и законных интересов гражданина (п. 2 ст. 10 ГПК РФ) .
Лица, участвующие в деле, иные лица, присутствующие при совершении процессуального действия, в ходе которого могут быть выявлены сведения, указанные выше, предупреждаются судом об ответственности за их разглашение.
Решения судов всегда объявляются публично, за исключением случаев, если такое объявление решений затрагивает права и законные интересы несовершеннолетних.

Таким образом, вы имеете право заявить ходатайство о разбирательство в закрытом заседании, ссылаясь на неприкосновенность частной жизни т. д.
Суд, правда, имеет право в ходатайстве отказать, если решит, что доводы не убедительны.