Вопрос по наследству. На что могут претендовать отец и сын (см. внутри)?

О несуществующей прописке можете забыть. Регистрация никоим образом не влияет на права наследования.
Чтобы хоть как-то ответить на Ваш вопрос, нужно знать когда и при каких условиях приобретались эти квартиры.

все, что приобретено в браке принадлежит обоим супругам, независимо от регистрации. Значит 1\4 первой квартиры должна наследоваться сыном тоже.

И отец и сын наследники первой очереди. И имеют равные права на наследство. От доли матери во 2 квартире половину получает отец (муж), половину сын. У сына будет 3/4 от 2 квартиры, а у отца 1/4.

Первая квартира не делится. Во второй по 1/4 доле наследуют отец с сыном.

Отвечаю с учетом имеющихся комментариев.
Квартира 1- если покупалась в браке, то формально жена там имеет половину, как совместно нажитое имущество, хотя все оформлено на мужа. При этом сын имеет право на 1/4 данной квартиры, как на половину доли матери. как наследство. Хотя вероятно эту долю придется у папы забирать судом, если папа сам не признает право сына на такую долю.
Квартира 2 -так как квартира приватизирована, то данная доля не является совместно нажитым имуществом и из нее не выделяется супружеская доля мужа. По тому доля матери во 2-й квартире так же пополам между супругами.
То есть в первой 1\4 сыну, во второй 1\4 мужу

Наследовать будут оба только то имущество, которое принадлежало матери ко дню ее смерти. Больше ничего не добавить!

Половина матери делится на мужа и сына.

По 1 вопросу: может, если квартира приобреталась в браке. В таком случае - это совместно нажитое имущество. Кстати: а завещания умершая не оставляла?