Женщина, родившая ребёнка вне брака, отказалась от него в момент родов в пользу биологического отца, ..

Во-первых, если мать отказалась от ребенка, то никакого права на материнский капитал она не имеет.
"Отказаться от ребенка в пользу отца" - законом такой вариант напрямую не предусмотрен. Чтобы достичь того, чего вы хотите, (чтобы вы были записаны отцом ребенка, а ваша жена - матерью ребенка) - возможны следующие варианты:
вариант №1. Любовница пишет отказ от ребенка в роддоме. Вы на основании ст. 51 ФЗ-143, устанавливаете свое отцовство через ЗАГС.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_154794/?frame=5#p646
После этого ваша жена через суд устанавливает усыновление (удочерение) . По решению суда вашу жену записывают в качестве матери ребенка.
вариант № 2. Любовница забирает ребенка из роддома. Вы с ней вдвоем идете в ЗАГС и устанавливаете отцовство по совместному заявлению. После этого любовница пишет нотариально заверенное согласие на усыновление (удочерение) ребенка вашей женой. После этого жена через суд устанавливает удочерение.
Второй вариант проще и быстрее.

Нет. Отец имеет право на МСК в случае, если мать ребенка умерла или лишена прав. А она их не лишена, просто ребенок живет с отцом.

Не имеет. Очередная задача?

На оформление материнского капитала имеет право только мать (усыновитель) ребенка записанная в св-ве о рождении.

Согласно закона о новой форме государственной поддержки семей с детьми - материнском или семейном капитале. право на получение этих выплат имеет: гражданка РФ, родившая (усыновившая) второго или последующих детей начиная с 1 января 2007 года. Причем, в связи с изменениями в законодательстве, в случае, если один из детей умер на первой неделе жизни после 15 ноября 1997 года, его мать также может получить сертификат на материнский капитал; гражданин РФ, являющийся единственным усыновителем второго или последующих детей, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2007 года; отец (усыновитель) ребенка независимо от наличия гражданства РФ в случае прекращения права на дополнительные меры государственной поддержки женщины, родившей (усыновившей) детей, вследствие, например, смерти, лишения родительских прав в отношении ребенка, в связи с рождением (усыновлением) которого возникло право на получение материнского капитала, совершения в отношении ребенка (детей) умышленного преступления; несовершеннолетний ребенок (дети в равных долях) или учащийся по очной форме обучения ребенок до достижения им 23-летнего возраста, при прекращении права на дополнительные меры государственной поддержки отца (усыновителя) или женщины, являющейся единственным родителем (усыновителем).

Никто из родителей, пусть даже вне брака, не может оказаться от своего ребенка. Их могут только лишить родительских прав.