Может ли отец стать опекуном своих детей

Нет.
Опекунство над своим собственным ребенком не устанавливается по закону.

*поясните в комментариях причину постановки вопроса, поскольку возможна некорректная формулировка или подмена понятий*

Если вы в свидетельстве о рождении детей вписаны, то забираете их к себе, оформляете пенсии по потере кормильца, подавайте нотариусу заявление о принятии наследства.

Нет, если вы не записаны в свидетельстве о рождение, то вам надо устанавливать отцовство иначе дети пойдут в детский дом, а " чужому мужику " никто не даст опеку.

В России никакой опеки не требуется. Вы папа, воспитывайте своих детей наздоровье.

Если в графе отец Вы не указаны, то устанавливайте отцовство сначала, затем уже подавайте на пенсию, наследство для детей.

Чем помочь? В свидетельствах о рождении детей отец вы? Если да, просто живите вместе с детьми, если нет - нужно установить отцовство в суде. Ваша работа в ночную смену и нахождение "на больничном" не препятствуют осуществлению родительских прав и несению родительских обязанностей

Если юридически эти дети твои, то ты и так уже их законный опекун.

А типа здесь одни экстрасенсы и на тыщщи кил и метр в землю им видно СОР ваших детей?
= вы членораздельно напишите "записан в СОР отцом"

В РФ
- "опека по закону" = родитель
- "опека по решению ООиП/Суда" = опекун.

на детей выплачивается пенсия по потере кормильца плюс разные социальные льготы