Квартира в частной собственности

Привет! Только спокойствие. Покупая другую квартиру, Вы станете её собственниками, так же как были собственниками предыдущей. Кто Вы по отношению друг к другу? Супруги? Если да, то вне зависимости от того, на кого из Вас будет оформлена новая квартира - это имущество будет считаться приобретённым в браке, то есть принадлежащим обоим поровну. Также можно оформить её по 1/2 доли каждому, в этом случае будет считаться, что Вы свои доли уже определили сами.
Что касается выписки/прописки. Выписывшись с прежнего адреса Вы обязаны прописаться по какому-то другому, и это не обязательно по адресу новой квартиры. То есть прописка по новому адресу это Ваше право, а не обязанность. И если у Вас есть другие варианты для прописки, то выбираете вариант, исходя из личной целесообразности. Если вариантов нет, то прописываетесь по новому адресу. Делать длительный перерыв между выпиской и пропиской не рекомендую - рискуете понести административную ответственность за нарушение правил постановки на учёт.
Успехов Вам.

Приватизированная квартира в частной собственности, а новая тоже, - как оформите - в общую или долевую собственность. Прописка ни причем, имеет значение регистрация прав собственности в РС

Та квартира, которую Вы приобретете будет в собственности (правоустанавливающий документ - договор купли-продажи) .
Кто будет собственником новой квартиры (один из вас или оба) - решать вам. Вы можете купить квартиру в долевую собственность (например, в равных долях) .
Если Вы станете собственником новой квартиры (или ее доли) Вы сможете зарегистрироваться на указанной жил. площади в любое время. Лишить Вас собственности или снять с рег. учета вас никто не сможет.
Удачи!

зависит от того как оформите-можно на двоих и тогда все права ваши будут соблюдены

Ну, Алексей, Вам хорошо разъяснил! Удачи!

Продажа и покупка квартиры совершенно два разных действия с вытекающими разными обстоятельствами. Сначала продали и получили деньги, потом купили. другая сделка. В договор с другой сделкой можно прописать и совершенно других собственников, вам разные доли, как угодно. Права в новом договоре будут у того, как Вы их пропишите. Согласно долям. Выписаться Вам придется перед продажей квартиры ( подумайте куда заранее) , а уже потом прописаться в свою собственность.

Квартира будет в Вашей собственности, кого именно, определяйте сами. Зарегистрироваться в квартире, которая является Вашей собственностью сможете когда угодно.