могу ли уволить с работы по статье за несданный экзамен?

1)все вопросы решаются письменно
2)в комиссии по приёму экзаменов обязательно должен быть представитель профсоюза (если есть) или трудового коллектива (т. е. не начальство, а кто-то из работяг) .
3)за несданный экзамен (аттестацию) могут уволить (п. 2 ч. 1 ст. 81 ТК РФ) , но могут и не увольнять
4)если хотите - можно оспорить результаты аттестации в суд. но надо собирать документы (положение об аттестации - если есть, состав аттестационной комиссии и т. п. )
5)если будут увольнять - попробуйте поискать эти документы, пригодится в суде.
6)обращайтесь - помогу
7)административных отпусков не бывает. а на учебный отпуск вы имеете право (ст. 173-177 ТК РФ)

Не сдал экзамен - не можешь быть допущен к работе - не соответствуешь занимаемой должности. Вполне могу уволить

Если это аттестация, то могут.

Вообщето у администрации есть право уволить работника по статье как несоответсвующего занимаемой должности, при этом протокол экзаменов может сыграть свою роль в качестве обоснования применения статьи. Однако сначала Вам должны назначить новый срок сдачи экзаменов и на период пока вы не сдадите его, могут урезать зарплату ( на сколько - это надо смотреть колдоговор или договор о найме на работу) .
Если у Вас там все серьезно закрутилось лучше посоветоваться с юристом, чтобы не попасть впросак.

Не уволят, только выдерут

Это называется "не пройти аттестацию". Просто у Вас аттестация проходит в виде экзамена.

Могут и уволить Если человек не здает квалификационный экзамен и не подтверждает свою группу его или переводят на низшую должность, разряд или увольняют как за проф. непригодность

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случае несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации (п. 3 ч. 1 ст. 81 ТК РФ) . Увольнение по данному основанию допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.