Помогите с геометрией (немного не понял)

Ну что ты не понял? Для начала проведи биссектрису из угла А, потом центр окружности О соединить с точками касания P и R . Согласно основного свойства биссектрисы, " Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла", поэтому-то мы и вписали окружность в треугольник АВС (эти два расстояния не что иное, как радиусы "r" вписанной окружности ). Теперь рассмотрим образовавшиеся два прямоугольных треугольника АОР и АОR. Они равны между собой (общая сторона-биссектриса, прилегающие к ней равные углы РАО = RАО, ещё радиусы ОР и ОR). А в равных треугольниках и третьи стороны равны. Значит АР=АR. По той же причине PB=BQ и QC=CR. Всё.
А вот теперь внимательно смотри на чертёж. Двигаемся по часовой стрелке от т. R.
Периметр треугольника состоит из следующих отрезков: RA+AP+PB+BQ+QC+CR = периметр тр-ка = 81+120+67= 268;
От перемены мест слагаемых сумма не меняется? Нет. Значит мы можем сгруппировать и записать это как уравнение: (RA+AP)+(BQ+QC)+(PB+CR) = 268;
Но (BQ +QC) = BC, и (PB+CR) = (BQ+QC) = BC,
а (RA+AP) = 2 x AP т. к. мы ранее доказали, что эти стороны равны.
Теперь подставляем последние два значения и переписываем наше уравнение:
2 x AP +2 x ВС = 268;
2(AP+BC) = 268;
AP +BC = 268/2 = 134;
AP=134 - BC = 134 - 67=67.
Если я в арифметике не ошиблась, то ответ 67см. Проверь, если что не понятно, спрашивай, помогу.