Домашние задания: Геометрия

Вот такой плохо сформулированный вопрос по планиметрии. Ну уровне идеи.

Привет!
Невырожденный отрезок буду называть двуугольником, точку - одноугольником, пустое множество точек - нольугольником.

0. Прошу к нулевому пункту отнестись чисто с позиции формальной логики.
Каковы бы ни были два 0-угольника, найдется единственное тождественное преобразование плоскости, переводящее один в другой.
Действительно, единственное тождественное преобразование переводит единственное пустое множество в единственное пустое множество.
Аналогичное нельзя сказать об 1-угольниках: тождественным преобразованием нельзя перевести точку в другую точку.

1. Каковы бы ни были два одноугольника (две точки плоскости), найдется единственный параллельный перенос, переводящий одну точку в другую.
Об отрезках аналогичное утверждать нельзя, например, потому что отрезки могут иметь разную длину.

2. Каковы бы ни были два 2-угольника (отрезка), найдется подобие, переводящее один в другой.
О треугольниках аналогичное утверждать нельзя.
Если отрезки направленные и на подобие наложено требование сохранения ориентации, то оно единственно.

3. Каковы бы ни были два треугольника, найдется аффинное преобразование, переводящее один в другой.
О четырехугольниках аналогичное сказать нельзя.
Упорядочив вершины, можно сделать аффинное преобразование единственным.

4. Каковы бы ни были два четырехугольника, найдется проективное преобразование, переводящее один в другой.
О пятиугольниках такое сказать нельзя.
С единственность - аналогично.
Тут есть две тонкости.
Чтобы проективные преобразования действовали биективно, плоскость придется расширить до проективной.
Биективное преобразование проективной плоскости, при котором каждая прямая переходит в прямую, заведомо проективно, а прямая - почти что объект аксиоматики.

Вопрос в том, какие существуют естественные продолжения этого ряда дальше?
Требование "образ прямой при преобразовании - прямая", наверное, придется как-то ослабить, но сделать это как-то естественно, чтобы приведенные выше "члены ряда" не поломать при его продолжении.
Преобразование n-го вида наверное, должно единственным образом задаваться образами n-точек, если набор из n точек "невырожденный".
Но это общие пожелания, хочу просто понять, какие тут готовенькие продолжения существуют.
Абдибакир Жакыпов
Абдибакир Жакыпов
396
Как мне кажется общем случае каковы бы ни были 2 n-угольника (n - целое неотрицательное) на плоскости, найдется преобразование пространства, переводящее один в другой. Просто для n<5 эти преобразования имеют свои названия (параллельный перенос, аффинное, проективное и др), а для n>5 это просто будет какая-то биективная функция, ставящая в соответствие каждой точке одного n-угольника единственную точку другого и наоборот. Она не будет как-то по-особому называться.
Вадим Микитюк
Вадим Микитюк
69 560
Лучший ответ
Абдибакир Жакыпов Ну и как такую в общем случае построить, чтоб у нас для случаев 0-4 получались озвученные выше варианты?
Чисто с практической точки зрения: как точку можно перевести в точку параллельным переносом? Что чему при этом будет параллельно? Ну, например, параллельность отрезков подразумевает минимум 2 отрезка. Один отрезок без отсылки на второй параллельным быть не может. А при переводе точки в точку вы по факту получаете расстояние между этими двумя точками, при том это расстояние единственно.
На мой взгляд, параллельный перенос является осуществимым тогда, когда можно взять как минимум 2 точки, чтобы получить пару параллельных прямых, на которых будут лежать 2 исходные точки и 2 получаемые точки преобразования.
А в вашем случае "просто" перенос, но не параллельный.

Иначе получается, что через две точки можно провести хотя бы две параллельные прямые. Но раз уж можно две провести, то там можно провести бесчисленное множество параллельных прямых (правда, надо оговаривать, что бесчисленное множество "совпадающих" параллельных прямых). Увы, через такие точки "можно провести прямую, и при том - только одну. А, значит, не возможен вариант "совпадающих" параллельных прямых... А, значит, не и параллельности... А, значит, и сам перенос не параллельный.

А если обе ваши точки еще и совпадают ("каковы бы ни были" же!), то у вас точно будет немереное число псевдопараллельных переносов, а по факту - вообще никакого переноса не будет (в таком случае движения вообще нет).
АА
Аминка Ахтямова
5 112
Роман Петров Полный блеф. Не знаете, что такое параллельный перенос - погуглите. Он как раз-таки задается одной точкой и ее образом, или же вектором, на который все точки переносятся. Непараллельные переносы в широком кругу нн рассматривают.

Похожие вопросы