Какое наибольшее значение может принимать PH?

Решать будем средствами аналитической геометрии. Писать буду не все, просто потому что иначе места не хватит. Если что-то не понятно - пишите в комментарии.
Введем декартову систему координат с началом в точке A, Ox проходит через C (как на картинке). Координаты некоторых точек: A(0;0), B(xb;25), H(xb;0), C(xc;0). M - середина BC, M((xb+xc)/2;(yb+yc)/2)=M((xb+xc)/2; 25/2).
AM = √(((xb+xc)/2-0)^2+(25/2-0)^2) = 25, отсюда xb+xc=25√3.
M((25√3)/2; 25/2).
Уравнение прямой AM составим по 2 точкам, получаем y=x/√3.
Найдем координаты точки N(xn, yn). Известно, что она лежит на прямой AM и находится на расстоянии 13 от точки M. Запишем это (система уравнений):
yn=xn/√3
√((xn-(25√3)/2)^2+(yn-25/2)^2)=169
Решение: yn=19 или yn=6. Если yn=6, то (yn<ym) N находится на отрезке AM (между A и M), а по условию надо, чтобы N была точкой продолжения AM. Тогда yn=19, xn=19√3.

Составим уравнение прямой BH по 2 точкам B и H. Уравнение BH: x=xb.
Найдем координаты точки P(xp; yp). Она принадлежит прямой BH и прямой AM.
Система:
xp=xb
yp=xp/√3
Отсюда xp=xb, yp=xb/√3.
PH = √((xb-xb)^2+(xb√3-0)^2) = |xb√3|.

Теперь рассмотрим описанную около треугольника ABC окружность. Обозначим ее центр O(x0; y0), радиус - R. Ее уравнение:
(x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2
Ей принадлежат точки A, B, C, N. Запишем это (система уравнений):
A:(0-x0)^2+(0-y0^2)=R^2
B:(xb-x0)^2+(25-y0)^2=R^2
C:(xc-x0)^2+(0-y0)^2=R^2
N:(xn-x0)^2+(yn-y0)^2=R^2

x0^2+y0^2=R^2
Подставим это в остальные уравнения. Получаем систему:
(xb-x0)^2+(25-y0)^2=x0^2+y0^2
(xc-x0)^2+y0^2=x0^2+y0^2
(xn-x0)^2+(yn-y0)^2=x0^2+y0^2

(xc-x0)^2+y0^2=x0^2+y0^2
(xc-x0)^2-x0^2=0
(xc-2x0)(xc)=0
xc=0 или xc=2x0
Если xc=0, то точки A и С совпадают и ABC не является треугольником. Остается xc=2x0, x0=xc/2.

Итак, мы выяснили, что yn=19, xn=19√3, xb+xc=25√3 (xb=25√3-xc), x0=xc/2 Подставим это в систему.
(25√3-xc-xc/2)^2+(25-y0)^2=(xc^2)/4+y0^2
(xc-x0)^2+y0^2=x0^2+y0^2 (это уравнение бесполезно после подстановки получаем 0=0)
(19√3-xc/2)^2+(19-y0)^2=(xc^2)/4+y0^2

(25√3-3xc/2)^2+(25-y0)^2=(xc^2)/4+y0^2 (1)
(19√3-xc/2)^2+(19-y0)^2=(xc^2)/4+y0^2 (2)

Домножим уравнение (2) на -1 и сложим его с первым.
(25√3-3xc/2)^2+(25-y0)^2-(19√3-xc/2)^2-(19-y0)^2=0
Раскроем все скобки, что-то сократится. Выразим y0 через xc.
y0 = 1/6 (xc^2 - (28√3)xc + 528)
Теперь в уравнении (2) раскроем скобки и выразим y0 через xc.
y0 = 38 - (xс√3)/2

Получаем новую систему:
y0 = 1/6 (xc^2 - (28√3)xc + 528)
y0 = 38 - (xс√3)/2

1/6 (xc^2 - (28√3)xc + 528) = 38 - (xс√3)/2
Раскроем все скобки. Получается квадратное уравнение.
Его решения:
xc=5√3 или xc=20√3
xb=25√3-xc
xb=20√3 или xb=5√3

По-условию требуется найти наибольшее возможное значение PH.
При xb=20√3 PH = |20√3√3|=60
При xb=5√3 PH = |5√3√3|=15

Наибольшее значение PH - 60.