Вывод формулы правильного многоугольника

Если в многоугольник можно вписать окружность, то
S = (1/2)*Pr,
S - его площадь,
P - если периметр,
r - радиус вписанной окружности в этот многоугольник.

Доказательство.
Рассмотрит произвольный многоугольник, в который можно вписать окружность. Обозначим центр этой окружности О. Количество сторон многоугольника обозначим n. Пронумеруем его стороны числами 1, 2, ..n. Длины этих сторон обозначим a1, a2, ..an.
Рассмотрим его сторону номер 1. Проведем из точки О к обоим концам этой стороны отрезки. Получается треугольник. Окружность вписана в многоугольник, значит она касается каждой его стороны, в том числе и стороны 1. Т. е. на стороне 1 найдется точка (обозначим ее H1), такая, что OH1 будет перпендикулярно стороне 1.
Выразим площадь этого треугольника. Для любого треугольника площадь равна 0.5*сторона*высота_проведенная_к_ней. В данном случае
S1 = 0.5*a1*OH1 = 0.5*OH1*a1
S1 - площадь треугольника, который содержит сторону 1.
Окружность касается стороны 1, значит расстояние от центра окружности до точки касания (т. е. ОH1) равно радиусу этой окружности, OH1 = r (по свойству касательной, проведенной к окружности)
S1 = 0.5*OH1*a1 = 0.5*r*a1
Аналогичным образом можно рассмотреть сторону 2, сторону 3, ..сторону n и получить:
S2 = 0.5*r*a2
S3 = 0.5*r*a3
....
Sn = 0.5*r*an
Если сложить все эти уравнения, то получим:
S1+S2+...+Sn = 0.5*r*a1+0.5*r*a2+...+0.5*r*an,
S1+S2+...+Sn = 0.5*r*(a1+a2+...+an)
S1+S2+..Sn - легко заметить, сумма площадей всех этих треугольничков составляет всю площадь исходного многоугольника
a1+a2+...+an - сумма длин всех сторон многоугольника - это по определению его периметр
Вот и получаем
S = 0.5*r*P

Доказывали для произвольного многоугольника, т. е. для любого возможного. Теорема доказана для любого возможного многоугольника, в том числе и для любого правильного многоугольника, что и требовалось.

Если будет сложна для понимания - пишите, сделаю рисунок. Для начала возьмите нарисуйте, например, правильный 6-угольник и попытайтесь проделать все те же действия с ним.

Это не многоугольник, а треугольник, где 1/2Р=р

Зачем выводить то, что есть в учебнике?! Кстати, из суммы всех многоугольников получается площадь круга. Тоже есть в учебнике.