Вася, Петя и Саша находились в одной вершине правильного многоугольника (у которого все стороны равны).

1 способ:

Пусть Петя в тот момент, когда его встретил Вася, прошёл n сторон многоугольника. Так как скорость Васи вдвое больше скорости Пети, то в этот момент Вася прошёл 2n сторон. И поскольку Вася и Петя двигались в разные стороны, то вместе они обошли весь многоугольник, а с другой стороны, их суммарный путь равен 3n.
После этого Вася прошёл ещё 10 сторон, итого 2n + 10 сторон. За это же время Саша, двигаясь в противоположную сторону, прошёл всего (2n + 10)/4 = (n + 5)/2 сторон (т. к. его скорость в 4 раза меньше скорости Васи). Суммарный путь Васи и Саши также составляет полный многоугольник (т. к. Вася и Саша оказались в одной точке), т. е. он равен 2n + 10 + (n + 5)/2 = (4n + 20 + n + 5)/2 = (5n + 25)/2.
Итак, мы выразили через n число сторон многоугольника двумя разными способами, т. е. имеем уравнение
3n = (5n + 25)/2
6n = 5n + 25
n = 25
Откуда число сторон многоугольника равно 3n = 3*25 = 75.
Число же вершин многоугольника всегда совпадает с числом его сторон и также равно 75.

2 способ:

За то время, пока Петя прошёл путь х (выраженный числом сторон), Вася прошёл путь, равный 2х. А за то время, пока Саша прошёл путь, равный у, Вася прошёл путь, равный 4у. В первом случае Вася и Петя, а во втором - Вася и Саша встретились в одной точке, а потому вместе обошли полный многоугольник. Поэтому 3х = 5у.
С другой стороны, пройдённый Васей во второй раз, больше пути, пройденного Васей в первый раз на 10 сторон. Поэтому 2х + 10 = 4у
Получается система уравнений:
3х = 5у
2х + 10 = 4у
Её можно решить, например, умножив 1-е уравнение на 2, а 2-е - на 3:
6х = 10у
6х + 30 = 12у
И вычитая 1-е из 2-го
30 = 2у
у = 15
х находить необязательно. Достаточно найти 5у = 75. Это и есть число сторон и число вершин многоугольника.

75