Вывод формулы теоремы Пифагора для прямоугольной треуголной пирамиды

Для каждой из трёх граней такой пирамиды с общей вершиной D применяем обычную теорему Пифагора.
Введём обозначения: AD = a, BD = b, CD = c, BC = x, AC = y, AB = z. Тогда получаем:
b² + c² = x²;
a² + c² = y²;
a² + b² = z²
Для площади треугольника ABC можно было бы применить формулу Герона, но проще повторить её вывод из тех соображений, что: S(ABC) = (1/2)xy sinγ, z² = x² + y² - 2xy cos γ, где γ - угол между сторонами x и y. Из этих формул: 2xy sinγ = 4S(ABC), 2xy cos γ = x² + y² - z². Возведём эти два равенства в квадрат и сложим. Тогда в левой части получим:
4x²y² sin²γ + 4x²y² сos²γ = 4x²y² (sin²γ + cos²γ) = 4x²y².
а в правой части получим:
16S²(ABC) + (x² + y² - z²)²
Отсюда:
16S²(ABC) = (x² + y² - z²)² 4x²y² - (x² + y² - z²)²
Подставим сюда выражения для квадратов x, y и z через a, b и c. Получим:
16S²(ABC) = 4(b² + c²)(a² + c²) - (b² + c² + a² + c² - a² - b²)² = 4(b² + c²)(a² + c²) - 4с⁴ = 4(a²b² + a²c² +b²c² + c⁴) - 4с⁴ = 4a²b² + 4a²c² + 4b²c²
Итак, 16S²(ABC) = 4a²b² + 4a²c² + 4b²c². Деля это равенство на 16, получаем:
S²(ABC) = a²b²/4 + a²c²/4 + b²c²/4
S²(ABC) = (ab/2)² + (ac/2)² + (bc/2)².
В правой части этого равенства - сумма квадратов площадей прямоугольных треугольников DAB, DAC и DBC: S(DAB) = ab/2, S(DAC) = ac/2, S(DCA) = bc/2. Поэтому: S²(ABC) = S²(DAB) + S²(DBC) + S²(DCA), что и требовалось доказать.