Теорема о поиске длины медианы

Есть, но её обычно изучают в виде задачи о поиске медианы треугольника через три стороны. Но её можно представить и в виде теоремы, которую можно сформулировать так:

Теорема о медиане. Квадрат медианы треугольника равен полусумме квадратов прилежащих сторон (между которыми проведена медиана) минус четверть квадрата противолежащей стороны (к которой проведена медиана).

С помощью формулы это записывается так. Если есть треугольник со сторонами a, b и c, и к стороне c проведена медиана m, то справедливо равенство:

m² = a²/2 + b²/2 - c²/4

Доказать теорему можно, рассмотрев один из треугольников, на которые данный треугольник делит эта медиана: в нём известны две стороны (одна - это сторона исходного треугольника, другая - половина другой стороны исходного треугольника), а косинус угла между ними (это угол в исходном треугольнике) можно найти из теоремы косинусов через три стороны. Сторона против этого угла - данная медиана.

Или же достроив треугольник до параллелограмма, удвоив медиану и воспользовавшись теоремой, утверждающей, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равен сумме квадратов всех его сторон. Две стороны параллелограмма - это стороны треугольника, одна диагональ - третья сторона, а вторая - удвоенная медиана. Отсюда с² + (2m)² = a² + b² + a² + b², откуда следует утверждение теоремы.

В частном случае, если треугольник прямоугольный, а медиана проведена из вершины прямого угла, то a² + b² = c². Подставляя это в формулу, получаем m² = c²/2 - c²/4, откуда m² = с²/4 и m = c/2, и мы получаем всем известное утверждение о медиане прямоугольного треугольника, равной половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы